2．3 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

　　 在平時(shí)的教學(xué)中，教師要善于從已有的知識(shí)過渡到新知識(shí)，詮釋新知識(shí)與已有知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，以利于學(xué)生進(jìn)行同化學(xué)習(xí)。教師通過對(duì)一些實(shí)例分析、協(xié)助學(xué)生歸納出一般的規(guī)律并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。學(xué)生通過上位學(xué)習(xí)，把數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識(shí)融入到生物學(xué)科中來，做到舉一反三。然后通過運(yùn)用新規(guī)律，進(jìn)一步檢驗(yàn)、鞏固新知識(shí)，并實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移。

例3：若讓某雜合子連續(xù)自交，能表示自交代數(shù)和純合子比例關(guān)系是(　　 )

解析：假設(shè)此雜合子的基因型為Aa、采用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)雜合子自交的后代概率進(jìn)行推算(一般學(xué)生都會(huì))。自交第一代的雜合子概率為1/2，純合子的概率為1/2(顯、隱性純合子)，自交第二代的雜合子概率為(1/2)²……自交第N代的雜合子概率為(1/2)^N，而純合子則為1-(1/2)^N，然后再構(gòu)建數(shù)學(xué)曲線模型。本題答案為D。

2．2 排列與組合的應(yīng)用

　　 排列與組合作為高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)。在減數(shù)分裂過程中，減Ⅰ分裂(中期)的同源染色體在細(xì)胞中央的不同排列方式，在細(xì)胞兩極出現(xiàn)不同的染色體組合，最終形成不同基因組成的配子，這是遺傳的分離定律與自由組合定律細(xì)胞學(xué)證據(jù)。同樣，遺傳信息的傳遞與表達(dá)過程中，也涉及到堿基的排列與密碼子的組合方式。因此，教師在教學(xué)中，從具體的實(shí)例出發(fā)，結(jié)合排列與組合知識(shí)，解決生物學(xué)上的一些疑難問題。

例2：果蠅的合子有8個(gè)染色體，其中4個(gè)來自母本(卵子)，4個(gè)來自父本(精子)。當(dāng)合子變?yōu)槌上x時(shí)，成蟲又產(chǎn)生配子(卵子或精子，視性別而定)時(shí)，在每一配子中有多少染色體是來自父本的，多少個(gè)是來自母本的？(　　 )

A、4個(gè)來自父本，4個(gè)來自母本

B、卵子中4個(gè)來自母本，精子中4個(gè)來自父本

C、1個(gè)來自一個(gè)親本，3個(gè)來自另一親本

D、0、1、2、3或4個(gè)來自母本，4、3、2、1或0來自父本(共有5種可能)

解析：染色體在形成配子時(shí)完全是獨(dú)立分配的，因?yàn)樵谕�源染色體發(fā)生聯(lián)會(huì)后，二價(jià)體在赤道板上的排列方位是完全隨機(jī)的，因此每個(gè)配子所得到的4個(gè)染色體也是完全隨機(jī)的。每個(gè)配干所得到的一套染色體有可能是五種組合中的一種，實(shí)際上每種組合又會(huì)有不同的情況。如將這4對(duì)染色體分別命名為 m¹(母源來的第一染色體)以及 m²、m³、m⁴和p¹(父源來的第一染色體)、p²、p³和p⁴。那么上述情況下，配子有可能是：m¹ m² 　m³ m ⁴；m¹ p² 　p³　 p⁴；m² p¹ 　p³　 p⁴；m³ p¹ 　p²　 p⁴ ……p¹ p² 　p³　 p⁴。因此，當(dāng)我們不僅考慮數(shù)量，而且也考慮到質(zhì)量時(shí)，4對(duì)染色體的配子組合數(shù)應(yīng)為2⁴＝16。在只考慮數(shù)量時(shí)，此題答案為D。

2．1 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

　　 生物圖形與數(shù)學(xué)曲線相結(jié)合的試題是比較常見的一種題型。它能考查學(xué)生的分析、推理與綜合能力。這類試題從數(shù)形結(jié)合的角度，考查學(xué)生用數(shù)學(xué)圖形來表述生物學(xué)知識(shí)，體現(xiàn)理科思維的邏輯性。

例1：下圖1表示某種生物細(xì)胞分裂的不同時(shí)期與每條染色體DNA含量變化的關(guān)系；圖2表示處于細(xì)胞分裂不同時(shí)期的細(xì)胞圖像。以下說法正確的是(　　 )

A、圖2中甲細(xì)胞處于圖1中的BC段，圖2中丙細(xì)胞處于圖1中的DE段

B、圖1中CD段變化發(fā)生在減數(shù)Ⅱ后期或有絲分裂后期

C、就圖2中的甲分析可知，該細(xì)胞含有2個(gè)染色體組，秋水仙素能阻止其進(jìn)一步分裂

D、圖2中的三個(gè)細(xì)胞不可能在同一種組織中出現(xiàn)

　 解析：這是一道比較典型的數(shù)形結(jié)合題型：從圖2上的染色體形態(tài)不難辨別甲為有絲分裂后期、乙為減Ⅱ后期和丙為減Ⅱ中期；而圖1中的AB段表示的是間期中的(S期)正在進(jìn)行DNA復(fù)制的過程，BC段表示的是存在姐妹染色單體(含2個(gè)DNA分子)的染色體，DE段表示的是著絲點(diǎn)斷裂后的只含1個(gè)DNA的染色體。此題的答案是B。

10.客觀性題的解題方法：選擇題是給出條件和結(jié)論，要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構(gòu)思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識(shí)覆蓋面。填空題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標(biāo)明確，知識(shí)復(fù)蓋面廣，評(píng)卷準(zhǔn)確迅速，有利于考查學(xué)生的分析判斷能力和計(jì)算能力等優(yōu)點(diǎn)，不同的是填空題未給出答案，可以防止學(xué)生猜估答案的情況。要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準(zhǔn)確的計(jì)算、嚴(yán)密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。

下面通過實(shí)例介紹常用方法。examda

　(1)直接推演法：直接從命題給出的條件出發(fā)，運(yùn)用概念、公式、定理等進(jìn)行推理或運(yùn)算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題方法，這種解法叫直接推演法。

　(2)驗(yàn)證法：由題設(shè)找出合適的驗(yàn)證條件，再通過驗(yàn)證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗(yàn)證，找出正確答案，此法稱為驗(yàn)證法(也稱代入法)。當(dāng)遇到定量命題時(shí)，常用此法。

　(3)特殊元素法：用合適的特殊元素(如數(shù)或圖形)代入題設(shè)條件或結(jié)論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。

　(4)排除、篩選法：對(duì)于正確答案有且只有一個(gè)的選擇題，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)或推理、演算，把不正確的結(jié)論排除，余下的結(jié)論再經(jīng)篩選，從而作出正確的結(jié)論的解法叫排除、篩選法。

　(5)圖解法：借助于符合題設(shè)條件的圖形或圖象的性質(zhì)、特點(diǎn)來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。

　(6)分析法：直接通過對(duì)選擇題的條件和結(jié)論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結(jié)果，稱為分析法。

9、幾何變換法：在數(shù)學(xué)問題的研究中，常常運(yùn)用變換法，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單性的問題而得到解決。所謂變換是一個(gè)集合的任一元素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習(xí)題，可以借助幾何變換法，化繁為簡(jiǎn)，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點(diǎn)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起來，有利于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

　幾何變換包括：(1)平移；(2)旋轉(zhuǎn)；(3)對(duì)稱。

8、等(面或體)積法：平面(立體)幾何中講的面積(體積)公式以及由面積(體積)公式推出的與面積(體積)計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積(體積)，而且用它來證明(計(jì)算)幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積(體積)關(guān)系來證明或計(jì)算幾何題的方法，稱為等(面或體)積法，它是幾何中的一種常用方法。

　用歸納法或分析法證明幾何題，其困難在添置輔助線。等(面或體)積法的特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積(體積)公式聯(lián)系起來，通過運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果。所以用等(面或體)積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添置補(bǔ)助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

7、反證法：反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。

　用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。

　反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有；至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。

　歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。

6、構(gòu)造法：在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于問題的解決。

5、待定系數(shù)法：在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的重要方法之一。

4、判別式法與韋達(dá)定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判別式△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至解析幾何、三角函數(shù)運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。

　韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根；已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)等簡(jiǎn)單應(yīng)用外，還可以求根的對(duì)稱函數(shù)，計(jì)論二次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。