18.(丁中)求與橢圓有公共頂點(diǎn),且離心率為的雙曲線方程.
錯(cuò)解:
錯(cuò)因:忽視了橢圓的短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)。
正解:,
17.(丁中)已知點(diǎn)A(-2,-1)和B(2,3),圓C:x2+y2 = m2,當(dāng)圓C與線段AB沒有公共點(diǎn)時(shí),求m的取值范圍。
錯(cuò)解:,
錯(cuò)因:將題中的實(shí)數(shù)m當(dāng)成了圓的半徑,誤認(rèn)為m>0。
正解:且
16.(一中)已知點(diǎn)N(1,2),過點(diǎn)N的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn),且
(1)求直線AB的方程;
(2)若過N的直線l交雙曲線于C、D兩點(diǎn),且,那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓?為什么?
解:(1)設(shè)直線AB:代入得
(*)
令A(x1,y1),B(x2,y2),則x1、x2是方程的兩根
∴ 且
∵ ∴ N是AB的中點(diǎn) ∴
∴ k = 1 ∴AB方程為:y = x + 1
(2)將k = 1代入方程(*)得 或
由得,
∴ ,
∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直線方程為
即代入雙曲線方程整理得
令,及CD中點(diǎn)
則,, ∴,
|CD| =,
,即A、B、C、D到M距離相等
∴ A、B、C、D四點(diǎn)共圓
15.(一中)如圖所示,已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上的三點(diǎn),點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),BC過橢圓中心O,且,|BC|=2|AC|.
(I)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求橢圓方程;
(II)如果橢圓上有兩點(diǎn)P、Q,使∠PCQ的平分線垂直于AO,證明:存在實(shí)數(shù)λ,使.
解:(I)以O(shè)為原點(diǎn),OA為X軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)A(2,0),則橢圓方程為
∵O為橢圓中心,∴由對(duì)稱性知|OC|=|OB|
又∵, ∴AC⊥BC
又∵|BC|=2|AC| ∴|OC|=|AC|
∴△AOC為等腰直角三角形
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1) ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-1)
將C的坐標(biāo)(1,1)代入橢圓方程得,
則求得橢圓方程為
(II)由于∠PCQ的平分線垂直于OA(即垂直于x軸),不妨設(shè)PC的斜率為k,則QC的斜率為-k,因此PC、QC的直線方程分別為y=k(x-1)+1,y=-k(x-1)+1
由 得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0 *)
∵點(diǎn)C(1,1)在橢圓上,
∴x=1是方程(*)的一個(gè)根,∴xP•1=即xP=
同理xQ=
∴直線PQ的斜率為(定值)
又∠ACB的平分線也垂直于OA
∴直線PQ與AB的斜率相等(∵kAB=)
∴向量,即總存在實(shí)數(shù),使成立.
14.(城西中學(xué))設(shè)F1、F2是雙曲線-=1(a>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)
⑴若點(diǎn)P在雙曲線上,且·=0,||·||=2,求雙曲線的方程。
⑵設(shè)曲線C是以⑴中的雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn),焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓,若F1’、F2’分別是其左右 焦點(diǎn),點(diǎn)Q是橢圓上任一點(diǎn),M(2,)是平面上一點(diǎn),求|QM|+|QF1’|的最大值。
正確答案:⑴因?yàn)?sub>·=0,∴⊥依題意
||2+||2=||2 、
||+||=2 ②
|||-|||=4 、
①-③2:2||·||=4a,將②代入得a=1,
所以雙曲線的方程為-y2=1
⑵由⑴及題意可得C的方程為+y2=1,所以|QF1’|+|QF2’|=2
且F1’(-2,0),F2’(2,0),顯然M點(diǎn)在橢圓內(nèi)部。
所以|QM|+|QF1’|=|QM|+2-|QF2’|≤2+|MF2’|
如圖當(dāng)|QM|-|QF2’|=|MF2’|時(shí) |QM|-|QF2’|的值最大
所以|QM|+|QF1’|的最大值為2+
錯(cuò)因:第二問的轉(zhuǎn)化出錯(cuò)。
13.(磨中)設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上,離心率e=,已知點(diǎn)P(0,)
到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為,求這個(gè)橢圓的方程,并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)坐標(biāo)。
正確答案:+y2=1
錯(cuò)語原因:①利用相切的條件求解設(shè)有理論依據(jù)
②求最值時(shí)忽視了b的范圍而沒有加以討論,導(dǎo)致解題過程出錯(cuò)。
12.(磨中)設(shè)拋物線y2=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC∥x軸,證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O。
正確答案:見2001年全國(guó)高考理19題
錯(cuò)誤原因:設(shè)直線斜率為k,考慮到一般情況,而忽視了特殊情況。
11.(搬中) 已知橢圓,F(xiàn)為它的右焦點(diǎn),直線過原點(diǎn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)。求是否存在最大值或最小值?若不存在,說明理由。
錯(cuò)解 設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、
因?yàn)?sub>
所以
又橢圓中心為(1,0),右準(zhǔn)線方程為x=5
所以
即
同理
所以
設(shè)直線的方程為y=kx,代入橢圓方程得
所以
代入(1)式得
所以
所以|有最小值3,無最大值。
剖析 上述錯(cuò)解過程忽視了過原點(diǎn)斜率不存在的直線,當(dāng)的斜率不存在時(shí),有
所以有最小值為 3,最大值為25/4
10.(搬中)已知雙曲線,問過點(diǎn)A(1,1)能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn),并且A為線段PQ的中點(diǎn)?若存在,求出直線的方程,若不存在,說明理由。
錯(cuò)解 設(shè)符合題意的直線存在,并設(shè)、
則
(1)得
因?yàn)锳(1,1)為線段PQ的中點(diǎn),
所以
將(4)、(5)代入(3)得
若,則直線的斜率
所以符合題設(shè)條件的直線存在。
其方程為
剖析 在(3)式成立的前提下,由(4)、(5)兩式可推出(6)式,但由(6)式不能推出(4)(5)兩式,故應(yīng)對(duì)所求直線進(jìn)行檢驗(yàn),上述錯(cuò)解沒有做到這一點(diǎn),故是錯(cuò)誤的。
應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上,再由
得
根據(jù),說明所求直線不存在。
9. (搬中)橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上,離心率,已知點(diǎn)P()到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是,求這個(gè)橢圓的方程。
錯(cuò)解 設(shè)所求橢圓方程為
因?yàn)?sub>
所以a=2b
于是橢圓方程為
設(shè)橢圓上點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)P 的距離為d,
則:
所以當(dāng)時(shí),
有
所以所求橢圓方程為
剖析 由橢圓方程
得
由(1)式知是y的二次函數(shù),
其對(duì)稱軸為
上述錯(cuò)解在于沒有就對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)或外進(jìn)行分類,
其正確應(yīng)對(duì)f(y)=的最值情況進(jìn)行討論:
(1)當(dāng),即時(shí)
=7
,方程為
(2)當(dāng),
即時(shí),
,與矛盾。
綜上所述,所求橢圓方程為
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