552.ΔABC在平面α內(nèi)的射影是ΔA′B′C′，它們的面積分別是S、S′，若ΔABC所在平面與平面α所成二面角的大小為θ(0＜θ＜90°＝，則S′＝S·cosθ.

證法一 如圖(1)，當(dāng)BC在平面α內(nèi)，過(guò)A′作A′D⊥BC，垂足為D.

∵AA′⊥平面α，AD在平面α內(nèi)的射影A′D垂直BC.

∴AD⊥BC.∴∠ADA′＝θ.又S′＝A′D·BC，S＝AD·BC，cosθ＝,∴S′＝S·cosθ.

證法二　 如圖(2)，當(dāng)B、C兩點(diǎn)均不在平面α內(nèi)或只有一點(diǎn)(如C)在平面α內(nèi)，可運(yùn)用(1)的結(jié)論證明S′＝S·cosθ.

551. 已知：正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB′⊥BC′，BC＝2，求：線段AB′在側(cè)面上的射影長(zhǎng).

解析：如圖，取BC的中點(diǎn)D.∵AD⊥BC，側(cè)面⊥底面ABC，∴AD⊥側(cè)面是斜線AB′在側(cè)面的射影.又∵AB′⊥BC′，∴⊥BC′.

設(shè)BB′＝x，在RtΔ中，BE∶BD＝，＝.

∵E是ΔBB′C的重心.∴BE＝BC′＝

∴x＝·，解得：x＝.∴線段AB′在側(cè)面的射影長(zhǎng)為.

550.　 三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面三條對(duì)角線AB₁、BC₁、CA₁中，AB₁⊥BC₁.求證：AB₁⊥CA₁.

證　 方法1　 如圖，延長(zhǎng)B₁C₁到D，使C₁D＝B₁C₁.連CD、A₁D.因AB₁⊥BC₁，故AB₁⊥CD；又B₁C₁＝A₁C₁＝C₁D，故∠B₁A₁D＝90°，于是DA₁⊥平面AA₁B₁B.故AB₁⊥平面A₁CD，因此AB₁⊥A₁C.

方法2　 如圖，取A₁B₁、AB的中點(diǎn)D₁、P.連CP、C₁D₁、A₁P、D₁B，易證C₁D₁⊥平面AA₁B₁B.由三垂線定理可得AB₁⊥BD₁，從而AB₁⊥A₁D.再由三垂線定理的逆定理即得AB₁⊥A₁C.

說(shuō)明　 證明本題的關(guān)鍵是作輔助面和輔助線，證明線面垂直常采用下列方法：

(1)利用線面垂直的定義；(2)證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線；

(3)證明直線平行于平面的垂線；(4)證明直線垂直于與這平面平行的另一平面.

549. 已知矩形ABCD，過(guò)A作SA⊥平面AC，再過(guò)A作AE⊥SB交SB于E，過(guò)E作EF⊥SC交SC于F

(1)求證：AF⊥SC

(2)若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD

解析：如圖，欲證AF⊥SC，只需證SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲證SC⊥平面AEF，只需證AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面ABC，再由已知只需證AE⊥BC，而要證AE⊥BC，只需證BC⊥平面SAB，而這可由已知得證

證明 　(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC

∵矩形ABCD，∴AB⊥BC　　 ∴BC⊥平面SAB　　　 ∴BC⊥AE又SB⊥AE　 ∴AE⊥平面SBC

∴SC⊥平面AEF　　 ∴AF⊥SC

(2)∵SA⊥平面AC　 ∴SA⊥DC，又AD⊥DC　　 ∴DC⊥平面SAD　 ∴DC⊥AG

又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF　　 ∴SC⊥AG　 ∴AG⊥平面SDC　 ∴AG⊥SD

548.　 α和β是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件中可以判定平面α∥β的是(　　 )

A.α、β都垂直于平面

B.α內(nèi)不共線的三點(diǎn)到β的距離相等

C.l、m是α內(nèi)的直線，且l∥β，m∥β

D.l、m是兩條異面直線，且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β

解析：顯然B、C不能推出α∥β，有α、β相交的情況存在，對(duì)于A、D，學(xué)了“面面垂直”后，就可以說(shuō)明A不能推出α∥β，α、β有相交的可能，從而選D.

事實(shí)上，l∥α，m∥α，在α內(nèi)任取一點(diǎn)A，過(guò)A作l′∥l，m′∥m,因?yàn)閘,m異面，所以l′,m′相交，則可推出l′∥β，m′∥β.由面面平行的判定定理可推出α∥β.

547.　 設(shè)a、b是兩條異面直線，那么下列四個(gè)命題中的假命題是(　　 )

A.經(jīng)過(guò)直線a有且只有一個(gè)平面平行于直線b

B.經(jīng)過(guò)直線a有且只有一個(gè)平面垂直于直線b

C.存在分別經(jīng)過(guò)直線a和b的兩個(gè)互相平行的平面

D.存在分別經(jīng)過(guò)直線a和b的兩個(gè)互相垂直的平面

解析：A、C、D均為真命題，B為假命題；∵若過(guò)a的平面α⊥b,則b垂直α內(nèi)的直線a，從而a⊥b，那么限制a,b必須垂直，而條件中沒(méi)有指明a、b是否垂直.

546.　 設(shè)直線a在平面α內(nèi)，則“平面α∥平面β”是“直線a∥平面β”的(　　 )條件

A.充分但不必要　　　　　 　　　　 B.必要但不充分

C.充分且必要　　　　　　　　　　 D.不充分也不必要

解析：若α∥β，∵aα，∴a與β無(wú)公共點(diǎn)，∴a∥β.

若a∥β，aα，則α，β的關(guān)系不能確定，所以應(yīng)選A.

545.如圖，直線AC、DF被三個(gè)平行平面α、β、所截.

求證：＝

證：(i)當(dāng)AC，DF共面S時(shí)，

連AD，BE，CF

則AD∥BE∥CF

從而＝

(ii)當(dāng)AC、DE異面時(shí)，連CD設(shè)CD∩β＝G

連AD、BG、GE、CF，如圖

∵α∥β，平面ACD∩β＝BG，平面ACD∩α＝AD.

∴BG∥AD

∴＝

同理可證：EG∥CF，∴＝

∴＝

綜合(i)(ii)知：＝.

544.a和b是兩條異面直線，求證：過(guò)a且平行b的平面必平行于過(guò)b且平行于a的平面.

已知：a,b是異面直線，aα，bβ,a∥β,b∥α.

求證：α∥β.

證：過(guò)b作平面與平面α交于b′

543.一條直線和兩個(gè)平行平面相交，求證：它和兩個(gè)平面所成的角相等.

已知：α∥β，直線a分別與α和β相交于點(diǎn)A和A′.

求證：a與α所成的角與a與β所成的角相等.

解析：(1)當(dāng)a⊥α?xí)r，∵α∥β，∴α⊥β.

即a與α所成的角與a與β所成的角都是直角.

(2)當(dāng)a是α的斜線時(shí)，如圖，設(shè)P是a上不同于A、A′的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引a′⊥α, a′∩α＝B,a′∩β＝B′.

連結(jié)AB和A′B′.

∵a∥β，a′⊥α.

∴α′⊥β

由此可知，∠PAB是a和α所成的角，∠P′A′B是a和β所成的角，而AB∥A′B′.

∴∠PAB＝∠PA′B′

即　 a和α所成的角等于a和β所成的角.