373. 定點P不在△ABC所在平面內(nèi)，過P作平面α，使△ABC的三個頂點到α的距離相等，這樣的平面共有　　　　　　　 　　　　　　　　　　 (　)

(A)1個　　 (B)2個　　 (C)3個　　 (D)4個

解析：D

過P作一個與AB，AC都平行的平面，則它符合要求；設(shè)邊AB，BC，CA的中點分別為E，F(xiàn)，G，則平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求

372. 在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，若E是A₁C₁的中點，則直線CE垂直于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 (　)

(A)AC　　　 　(B)BD　 　(C)A₁D 　(D)A₁D₁

解析：(B)

BD⊥AC，BD⊥CC₁，∴BD⊥平面A₁ACC₁，∴BD⊥CE．

371. 若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

(A)有且只有一個　　　　　 (B)可能存在也可能不存在

(C)有無數(shù)多個　　　　　　　 (D)一定不存在

(B)

解析：若存在，則a⊥b，而由條件知，a不一定與b垂直．

370. 點P在線段AB上，且AP∶PB＝1∶2，若A，B到平面α的距離分別為a，b，求點P到平面α的距離．

解析：(1)A，B在平面α的同側(cè)時，P平面α的距離為；

(2)A，B在平面α的異側(cè)時，P平面α的距離為．

點評　一是畫圖時，只要畫出如右上圖的平面圖形即可，無需畫出空間圖形；二是對第(2)種情形，若以平面為“水平面”，在其上方的點高度為正，在其下方的點高度為負，則第(2)種情形的結(jié)論，就是將(1)結(jié)論中的b改為(－b)，而無需再畫另一圖形加以求解．

369. 如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M為棱CC₁的中點，AC交BD于點O，求證：A₁O⊥平面MBD．

解析：要證A₁O⊥平面MBD，只要在平面MBD內(nèi)找到兩條相交直線與A₁O都垂直，首先想到DB，先觀察 A₁O垂直DB嗎？

方法1：發(fā)現(xiàn)A₁O平分DB，想到什么？(△A₁DB是否為等腰三角形)

∵A₁D＝A₁B，DO＝OB，∴A₁O⊥DB．

方法2：A₁O⊥DB嗎？即DB⊥A₁O嗎？DB垂直包含A₁O的平面嗎？(易見DB⊥平面A₁ACC₁)

再觀察A₁O垂直何直線？DM？BM？因這兩條直線與A₁O均異面，故難以直接觀察，平面MDB中還有何直線？易想到MO，因MO與A₁O相交，它們在同一平面內(nèi)，這是一個平幾問題，可畫出平幾圖進行觀察．

證明　取CC₁中點M，連結(jié)MO，∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，∴DB⊥平面A₁ACC₁，而A₁O平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．在矩形A₁ACC₁中，∵tan∠AA₁O=，tan∠MOC=，∴∠AA₁O=∠MOC，則∠A₁OA+∠MOC＝90°，∴A₁O⊥OM，∵OM∩DB＝O，∴A₁O⊥平面MBD．

368. 如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱B₁C₁，A₁D₁，D₁D，AB的中點．

(1)求證：A₁E⊥平面ABMN．

(2)平面直線A₁E與MF所成的角．

解析：(1)要證A₁E⊥平面ABMN，只要在平面中找到兩條相交直線與A₁E都垂直，顯然MN與它垂直，這是因為MN⊥平面A₁ADD₁，另一方面，AN與A₁E是否垂直，這是同一個平面中的問題，只要畫出平面幾何圖形，用平幾知識解決．(2)為(1)的應(yīng)用．

證明　(1)∵AB⊥平面A₁ADD₁，

而A₁E平面A₁ADD₁，

∴AB⊥A₁E．在平面A₁ADD₁中，A₁E⊥AN，　

∵AN∩AB＝A，∴A₁E⊥平面ABMN．

解　(2)由(1)知A₁E⊥平面ABMN，而MF平面ABMN，∴A₁E⊥MF，

則A₁E與MF所成的角為90°

367. 已知P為ABCD所在平面外一點，M為PB的中點，求證：PD∥平面MAC．

解析：　因M為PB的中點，連BD∩AC于O后，可將PD縮小平移到MO，可見MO為所求作的平行線．

證明　 連AC交BD于O，連MO，

則MO為△PBD的中位線，

∴PD∥MO，∵PD平面MAC，MO平面MAC，

∴PD∥平面MAC．

366. 在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，期棱長為a.

(1)求證BD⊥截面AB₁C；

(2)求點B到截面AB₁C的距離；

(3)求BB₁與截面AB₁C所成的角的余弦值。

同理BD₁⊥AB₁.∴BD₁⊥面ACB₁.

(2)AB=BC=BB₁G為△AB₁C的中心.AC=a

AG=a

∴BG==a

(3)∠BB₁G為所求

cos∠BB₁G=

365. 設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.

解析： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，

∴AB⊥平面MAD，

由此，面MAD⊥面AC.

記E是AD的中點，

從而ME⊥AD.

∴ME⊥平面AC， ME⊥EF

設(shè)球O是與平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.

不妨設(shè)O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的內(nèi)心.

設(shè)球O的半徑為r，則r＝

設(shè)AD＝EF＝a,∵S_ΔAMD＝1.

∴ME＝.MF＝,

r＝≤＝-1

當且僅當a＝，即a＝時，等號成立.

∴當AD＝ME＝時，滿足條件的球最大半徑為-1.

364. 在有陽光時，一根長為3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長為米，同時將一個半徑為3米的球放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分的面積(結(jié)果用無理數(shù)表示).

解析：由題意知，光線與地面成60°角，設(shè)球的陰影部分面積為S，垂直于光線的大圓面積為S′，則Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6π(米²)