51. 已知空間四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)。 求:AM與CN所成的角的余弦值; 解析:(1)連接DM,過N作NE∥AM交DM于E,則∠CNE 為AM與CN所成的角。 ∵N為AD的中點(diǎn), NE∥AM省 ∴NE=AM且E為MD的中點(diǎn)。 設(shè)正四面體的棱長為1, 則NC=·= 且ME=MD= 在Rt△MEC中,CE2=ME2+CM2=+=
∴cos∠CNE=, 又∵∠CNE ∈(0, ) ∴異面直線AM與CN所成角的余弦值為.
注:1、本題的平移點(diǎn)是N,按定義作出了異面直線中一條的平行線,然后先在△CEN外計(jì)算CE、CN、EN長,再回到△CEN中求角。
50. 點(diǎn)A是BCD所在平面外一點(diǎn),AD=BC,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),且EF= AD,求異面直線AD和BC所成的角。(如圖)
解析:設(shè)G是AC中點(diǎn),連接DG、FG。因D、F分別是AB、CD中點(diǎn),故EG∥BC且EG= BC,F(xiàn)G∥AD,且FG=AD,由異面直線所成角定義可知EG與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成角,即∠EGF為所求。由BC=AD知EG=GF=AD,又EF=AD,由余弦定理可得cos∠EGF=0,即∠EGF=90°。
注:本題的平移點(diǎn)是AC中點(diǎn)G,按定義過G分別作出了兩條異面直線的平行線,然后在△EFG中求角。通常在出現(xiàn)線段中點(diǎn)時,常取另一線段中點(diǎn),以構(gòu)成中位線,既可用平行關(guān)系,又可用線段的倍半關(guān)系。
49. 設(shè)空間四邊形ABCD,E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點(diǎn),若AB=12,CD=4 ,且四邊形EFGH的面積為12 ,求AB和CD所成的角.
解析: 由三角形中位線的性質(zhì)知,HG∥AB,HE∥CD,∴ ∠EHG就是異面直線AB和CD所成的角.
∵ EFGH是平行四邊形,HG= AB=6,
HE= ,CD=2,
∴ SEFGH=HG·HE·sin∠EHG=12 sin∠EHG,∴ 12 sin∠EHG=12.
∴ sin∠EHG=,故∠EHG=45°.
∴ AB和CD所成的角為45°
注:本例兩異面直線所成角在圖中已給,只需指出即可。
48.經(jīng)過平面外兩點(diǎn)A,B和平面垂直的平面有幾個?
解析:一個或無數(shù)多個。
當(dāng)A,B不垂直于平面時,只有一個。
當(dāng)A,B垂直于平面時,有無數(shù)多個。
47. 畫出滿足下列條件的圖形。
(1)α∩β=1,a α,b β,a∩b=A
(2)α∩β=a,b β,b∥a
解析:如圖1-8-甲,1-8-乙
46. 三條平行直線可以確定平面_________個。答案:1個或3個
解析:分類、一類三線共面,即確定一個平面,另一類三線不共面,每兩條確定一個,可確定3個。
45. 三角形、四邊形、正六邊形、圓,其中一定是平面圖形的有________3個。
解析:三角形的三個頂點(diǎn)不在一條直線上,故可確定一個平面,三角形在這個平面內(nèi);圓上任取三點(diǎn)一定不在一條直線上,這三點(diǎn)即確定一個平面,也確定了這個圓所在的平面,所以圓是平面圖形;而正六邊形內(nèi)接于圓,故正六邊形也是平面圖形;而四邊形就不一定是平面圖形了,它的四個頂點(diǎn)可以不在同一平面內(nèi)。
44. 空間一條直線及不在這條直線上的兩個點(diǎn),如果連結(jié)這兩點(diǎn)的直線與已知直線_______,則它們在同一平面內(nèi)。答案:相交或平行
解析:根據(jù)推論2,推論3確定平面的條件。
43. 如果一條直線上有一個點(diǎn)不在平面上,則這條直線與這個平面的公共點(diǎn)最多有____1個。
解析:如果有兩個,則直線就在平面內(nèi),那么直線上的所有點(diǎn)都在這個平面內(nèi),這就與已知有一個點(diǎn)不在平面上矛盾,所以這條直線與這個平面的公共點(diǎn)最多有一個。
42. 下列命題中正確的個數(shù)是 [ ]
①三角形是平面圖形 ②四邊形是平面圖形
③四邊相等的四邊形是平面圖形 ④矩形一定是平面圖形
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
解析:命題①是正確的,因?yàn)槿切蔚娜齻頂點(diǎn)不共線,所以這三點(diǎn)確定平面。
命題②是錯誤,因平面四邊形中的一個頂點(diǎn)在平面的上、下方向稍作運(yùn)動,就形成了空間四邊形。命題③也是錯誤,它是上一個命題中比較特殊的四邊形。
命題④是正確的,因?yàn)榫匦伪仨毷瞧叫兴倪呅,有一組對邊平行,則確定了一個平面。
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