2. 變力做功轉(zhuǎn)換為恒力做功

1．恒力做功：可用公式W=FScosθ直接計(jì)算，其中S為力的作用點(diǎn)對(duì)地面的位移，θ為力F和位移S之間的夾角。

例1.一個(gè)人通過一個(gè)動(dòng)滑輪用恒力拉動(dòng)物體A，已知恒力為F，與水平地面夾角為θ，如圖，不計(jì)繩子的質(zhì)量和滑輪間的摩擦，當(dāng)物體A被拉著向右移動(dòng)了S時(shí)，人所做功為(　　)

A、FS　　　　　　　　 B、2FS　

C、FS(1+COSθ)　　 D、無法確定

解析：本例中求“人所做的功”即人用力F作用在繩的端點(diǎn)P所做的功。由圖知，當(dāng)物體A被拉著向右移動(dòng)了S時(shí)，繩端點(diǎn)P的位移S’=，力F與S’的夾角為，則力F對(duì)繩端點(diǎn)P所做的功為，答案選D.

2.已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y ＝4－x²在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng)．

例1在邊長(zhǎng)為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？

解法一：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm，則箱高cm，得箱子容積

　 ．

　 　令　　 ＝0，

解得　 x=0(舍去)，x=40，　 并求得　 V(40)=16 000

由題意可知，當(dāng)x過小(接近0)或過大(接近60)時(shí)，箱子容積很小，因此，16 000是最大值

答：當(dāng)x=40cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16 000cm³

解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長(zhǎng)為(60-2x)cm，則得箱子容積

．(后面同解法一，略)　　　　　

由題意可知，當(dāng)x過小或過大時(shí)箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處．事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個(gè)極值點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰，是單峰的，因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值

例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最��？

解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2πRh+2πR²

由V=πR²h，得，則S(R)= 2πR+ 2πR²=+2πR²

令　 +4πR=0

解得，R=，

從而h====2

即h=2R，　　 因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值

答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省

變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最�。�

提示：S=2+h=

V(R)=R=

)=0 ．

例3已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn)L最大？

分析：利潤(rùn)L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格．由此可得出利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)．　　　

解：收入，

利潤(rùn)

　　 　　令，即，

求得唯一的極值點(diǎn)

答：產(chǎn)量為84時(shí)，利潤(rùn)L最大

課堂鞏固：

用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積．

歸納反思：

合作探究

1.某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是　　　　　 分，其中 　是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm

問題：(1)瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？

　 (2)瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最小？

26. (2005年高考遼寧卷第19題)

已知函數(shù)設(shè)數(shù)列}滿足，數(shù)列}滿足

　 (Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明；

　 (Ⅱ)證明

25. [2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(遼寧卷)數(shù)學(xué)理科第21題](本小題滿分12分)

在數(shù)列中,,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列.

⑴求及,由此猜測(cè)的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論;

⑵證明:.

24、[廣東省汕頭金山中學(xué)2008-2009學(xué)年上學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)(理科)第19題](本題14分)

已知數(shù)列滿足，　　　　　　　　　　　　　 .

(1)求證數(shù)列　　 是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

(3)設(shè)，求證：.

23. [廣東省湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)09屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué)試題第21題](本小題滿分14分)

　 已知 數(shù)列 滿足a=, a=,且　

　 (1)求數(shù)列　 的前n項(xiàng)和。

　(2)試證明.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(注意：有可能用到的參考結(jié)果：ln(1+x)<x,　 x>0 )

22．[浙江省富陽新中2008(上)高三期中考試數(shù)學(xué)(理科)試卷第20題] (本小題滿分15分)

21．[2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試福建省數(shù)學(xué)理科參考樣卷第14題] 　　

將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以下排列的規(guī)律，第n 行(n ≥3)從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 　　　　�。�

　　 1

2　 3

4　 5　 6

7　 8 　9　 10

…　 　　… 　　…