Question

13．有一批同規(guī)格的鋼條，每根鋼條有兩種切割方式，第一種方式可截成長度為a的鋼條2根，長度為b的鋼條1根；
第二種方式可截成長度為a的鋼條1根，長度為b的鋼條3根．現(xiàn)長度為a的鋼條至少需要15根，長度為b的鋼條至少需要27根．
問：如何切割可使鋼條用量最��？

Answer 1

分析 設(shè)按第一種切割方式需鋼條x根，按第二種切割方式需鋼條y根，由題意得到關(guān)于x，y的不等式組，即約束條件，由約束條件作出可行域，得到最優(yōu)整解，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：設(shè)按第一種切割方式需鋼條x根，按第二種切割方式需鋼條y根，
根據(jù)題意得約束條件是$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥15}\\{x+3y≥27}\\{x＞0，x∈N}\\{y＞0，y∈N}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)是z=x+y，
畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分．

由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=15}\\{x+3y=27}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3.6}\\{y=7.8}\end{array}\right.$，
此時(shí)z=11.4，但x，y，z都應(yīng)當(dāng)為正整數(shù)，
∴點(diǎn)（3.6，7.8）不是最優(yōu)解．
經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)且使z最小的直線是y=-x+12，
即z=12，滿足該約束條件的（x，y）有兩個(gè)：（4，8）或（3，9），它們都是最優(yōu)解．
即滿足條件的切割方式有兩種，按第一種方式切割鋼條4根，按第二種方式切割鋼條8根；
或按第一種方式切割鋼條3根，按第二種方式切割鋼條9根，可滿足要求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，是中檔題．