Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A（a，0）為x軸上一動點，點M（1，﹣1）、點N（3，﹣4），連接AM、MN，點N關于直線AM的對稱點為N′．

（1）若a＝2，在圖1中畫出線段MN關于直線AM的對稱圖形MN′（保留作圖痕跡），直接寫出點N′的坐標　　；

（2）若a＞0，連接AN、AN′，當點A運動到∠N′AN＝90°時，點N′恰好在雙曲線y＝上（如圖2），求k的值；

（3）點A在x軸上運動，若∠N′MN＝90°，此時a的值為　　．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，1）；（2）20；（3）﹣4或

【解析】

（1）根據要求畫出圖形，利用圖象法解決問題即可．

（2）如圖2，過A，M分別作y軸平行線BE，CD，過N，N′分別作x軸平行線，交BE，CD于點D，B，C．利用全等三角形的性質解決問題即可．

（3）畫出圖形，利用圖象法解決問題．

解：(1)作圖如圖1所示，N′（﹣2，1）．

故答案為（﹣2，1）．

(2)如圖2，過A，M分別作y軸平行線BE，CD，過N，N′分別作x軸平行線，交BE，CD于點D，B，C．

∴∠B＝∠E＝∠D＝∠C＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

∵∠N’AN＝90°，

∴∠2+∠3＝90°，

∴∠1＝∠2

又AN′＝AN，

∴△ABN≌△NEA（AAS），

∴BA＝EN，BN＝EA

∵A（a，0），M（1，﹣1），N（3，﹣4），

∴BA＝EN＝a﹣3，BN′＝EA＝4，DM＝2，DM＝3，

N′（a﹣4，a﹣3），由軸對稱性質可知MN′＝MN＝，

∴NC＝a﹣4﹣1＝a＝5，CM＝a＝3﹣（﹣1）＝a﹣2

CN2+CM2＝MN2＝13，

∴（a﹣5）2+（a﹣2）2＝13，

∴a2﹣7a﹣8＝0，

∴k＝（a﹣4）（a﹣3）＝a2﹣7a+12＝（a2﹣7a﹣8）+20＝20．

故答案為：20；

(3)如下圖中，

將線段MN繞點M逆時針旋轉90°得到N′（4，1），作線段NN′的垂直平分線交x軸于A，

∴直線NN′的解析式為y＝5x﹣19，

∴線段NN′的中垂線的解析式為，可得A（﹣4，0）．

將線段MN繞點M順時針旋轉90°得到N″（﹣2，﹣3），作線段N″N′的垂直平分線交x軸于A′，同法可得直線y＝5x﹣6，

∴A′（，0）．

∴a＝﹣4或．

故答案為﹣4或．