Question

如圖，在矩形ABCD中，點E在AB邊上，點F在AD邊上，且AE=DF，AF=CD，連接線段CE、EF、CF．點G是線段CE的中點，點M是線段EF上一點，過點G作GN⊥GM，將CF于點N．
（1）求證：△AEF≌△DFC；
（2）求證：ME=NF．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）利用SAS即可證明；
（2）易證△EFC是等腰直角三角形，作GK⊥CF，GH⊥EF，分別于點K和H，證明△GHM≌△GKN即可證得．

解答：證明：（1）∵AB=CD，AB=AE，
∴AE=CD，
∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
在△AEF和△DCE中

AF=CD ∠A=∠D AE=DF

，
∴△AEF≌△DCE；

（2）∵△AEF≌△DCE，
∴∠AFE=∠DCF，∠DFC=∠AEF，EF=FC，
又∵直角△AEF中，∠DFC+∠DCF=90°，
∴∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠EFC=90°，
∴△EFC是等腰直角三角形．
作GK⊥CF，GH⊥EF，分別于點K和H．
則四邊形HGKF是矩形，
∴∠HGK=90°，
∵GN⊥GM，
∴∠HGM=∠NGK，
又∵點G是線段CE的中點，
∴HG=GK，EH=HF=FK=CK，
在△GHM和△GKN中，

∠GHM=∠GNK ∠HGM=∠NGK GH=GN

，
∴△GHM≌△GKN，
∴HM=NK，
又∵EH=FK，
∴ME=NF．

點評：本題綜合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的判定，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，題型較好，難度不大，主要考查學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力．