Question

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，D是等邊三角形ABC邊BA上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊三角形DCF，連接AF．你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
（2）類比猜想：如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到等邊三角形ABC邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他作法與（1）相同，猜想AF與BD在（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，是否有新的結(jié)論？如果有新的結(jié)論，直接寫出新的結(jié)論，不需證明．
（3）深入探究：
①如圖3，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），連接DC，以DC為邊在其上方、下方分別作等邊三角形DCF和等邊三角形DCF'，連接AF，BF′．探究AF，BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論，不需證明．
②如圖4，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他作法與圖3相同，①中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，是否有新的結(jié)論？如果有新的結(jié)論，直接寫出新的結(jié)論，不需證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）證明△BCD≌△ACF即可解題；
（2）證明△BCD≌△ACF即可解題；
（3）①證明△BCD≌△ACF和△BCF'≌△ACD可得BD=AF和AD=BF'即可解題；
②證明△BCD≌△ACF和△BCF'≌△ACD可得BD=AF和AD=BF'即可證明新結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠BCA=∠DCF，
∴∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，

BC=AC ∠BCD=∠ACF CF=CD

，
∴△BCD≌△ACF，（SAS），
∴BD=AF；
（2）∵∠BCA=∠DCF，
∴∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，

BC=AC ∠BCD=∠ACF CF=CD

，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF；
（3）①∵∠BCA=∠DCF，
∴∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，

BC=AC ∠BCD=∠ACF CF=CD

，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF
∵∠BCA=∠DCF'，
∴∠BCF'=∠ACD，
在△BCF'和△ACD中，

BC=AC ∠ACD=∠BCF′ CD=CF′

，
∴△BCF'≌△ACD（SAS），
∴AD=BF'，
∴AB=AF+BF'；
②不成立，新結(jié)論為AB=AF-BF'．
證明∵∠BCA=∠DCF，
∴∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，

BC=AC ∠BCD=∠ACF CF=CD

，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF；
∵∠BCA=∠DCF'，
∴∠BCF'=∠ACD，
在△BCF'和△ACD中，

BC=AC ∠ACD=∠BCF′ CD=CF′

，
∴△BCF'≌△ACD（SAS），
∴AD=BF'，
∴AB=AF-BF'．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中每一問都找出全等三角形并求證是解題的關(guān)鍵．