Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)A的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H，得到矩形EFGH，則在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；
（3）設(shè)P點(diǎn)是x軸下方的拋物線上的一個動點(diǎn)，連接PA、PC，求△PAC面積的取值范圍，若△PAC面積為整數(shù)時，這樣的△PAC有幾個？

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，﹣3）代入得﹣3a=﹣3，解得a=1，

所以拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣3），

即y=x2﹣2x﹣3

（2）解：拋物線的對稱軸為直線x=1，

設(shè)E（t，t2﹣2t﹣3），

當(dāng)0＜t＜1時，如圖1，

EF=2（1﹣t），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），

∵矩形EFGH為正方形，

∴EF=EH，即2（1﹣t）=﹣（t2﹣2t﹣3），

整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+ （舍去），t2=2﹣ （舍去）；

當(dāng)1＜t＜3時，如圖2，

EF=2（t﹣1），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），

∵矩形EFGH為正方形，

∴EF=EH，即2（t﹣1）=﹣（t2﹣2t﹣3），

整理得t2﹣5=0，解得t1= ，t2=﹣ （舍去），

此時正方形EFGH的邊長為2 ﹣2；

當(dāng)t＞3時，EF=2（t﹣1），EH=t2﹣2t﹣3，

∵矩形EFGH為正方形，

∴EF=EH，即2（t﹣1）=t2﹣2t﹣3，

整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+ ，t2=2﹣ （舍去），

此時正方形EFGH的邊長為2 +2，

綜上所述，正方形EFGH的邊長為2 ﹣2或2 +2

（3）解：設(shè)P（x，x2﹣2x﹣3），

當(dāng)﹣1＜x＜0時，

∵S△ABC= ×4×3=6，

∴0＜S△APC＜6，

當(dāng)0＜x＜3時，作PM∥y軸交AC于點(diǎn)M，如圖3，

易得直線AC的解析式為y=x﹣3，則M（x，x﹣3），

∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，

∴S△APC= 3（﹣x2+3x）

=﹣ x2+ x

=﹣ （x﹣ ）2+ ，

當(dāng)x= 時，S△APC的面積的最大值為 ，即0＜S△APC＜ ，

綜上所述，0＜S△APC＜6，

∴△PAC面積為整數(shù)時，它的值為1、2、3、4、5，即△PAC有5個．

【解析】（1）設(shè)拋物線的交點(diǎn)式為y=a（x+1）（x﹣3），然后把C點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可；（2）設(shè)E（t，t2﹣2t﹣3），討論：當(dāng)0＜t＜1時，如圖1，EF=2（1﹣t），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），利用正方形的性質(zhì)得2（1﹣t）=﹣（t2﹣2t﹣3），當(dāng)1＜t＜3時，如圖2，利用正方形的性質(zhì)得2（t﹣1）=﹣（t2﹣2t﹣3），然后分別解方程得到滿足條件的t的值，再計算出對應(yīng)的正方形的邊長；（3）設(shè)P（x，x2﹣2x﹣3），討論：當(dāng)﹣1＜x＜0時，由于S△ABC= 6，則0＜S△APC＜6，當(dāng)0＜x＜3時，作PM∥y軸交AC于點(diǎn)M，如圖3，求出直線AC的解析式為y=x﹣3，則M（x，x﹣3），利用三角形的面積公式得S△APC= 3（﹣x2+3x），利用二次函數(shù)的性質(zhì)得0＜S△APC＜ ，所以0＜S△APC＜6，于是得到△PAC面積為整數(shù)時，它的值為1、2、3、4、5，即△PAC有5個．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．