Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（-5，0）和（5，0），以AB為直徑在x軸的上方作半圓O，點C是該半圓上第一象限內的一個動點，連結AC、BC，并延長BC至點D，使BC=CD，過點D作x軸的垂線，分別交x軸、線段AC于點E、F，E為垂足，連結OF．

（1）當∠CAB=30°時，求弧BC的長；

（2）當AE=6時，求弦BC的長；

（3）在點C運動的過程中，是否存在以點O、E、F為頂點的三角形與△DEB相似？若存在，請求出此時E點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1） ;（2） ；（3） E（,）

【解析】

試題分析：（1）直接根據(jù)A、B兩點的坐標求出AB的長，連接OC，再根據(jù)∠CAB=30°求出∠BOC的度數(shù)，由弧長公式即可得出結論；

（2）先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DBE，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；

（3）設E（x，y），由（2）知，2BC2=AB•BE，BD=2BC，再分△OEF∽△DEB與△FEO∽△DEB兩種情況討論即可．

試題解析：（1）∵點A、B的坐標分別為（-5，0）和（5，0），

∴AB=10．

連接OC，

∵∠CAB=30°，

∴∠BOC=60°，

∴

（2）∵DE⊥AB，

∴∠DEB=∠AEF=90°．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AC=90°，

∴∠DEB=∠ACB=∠AEF．

∵∠AFE=∠CFD，

∴∠FAE=∠EDB，

∴△ABC∽△DBE，

∴，

∵BC=CD，

∴，

解得BC=；

（3）設E（x，y），

∵，

∴2BC2=AB•BE，即BC=，

∴BD=2BC=2．

當△OEF∽△DEB時，∠OFE=∠DBE，

∵∠AFE+∠EFC=180°，∠DBE+∠EFC=180°，

∴∠AFE=∠DBE，

∴∠OFE=∠AFE，

∵∠AFE＞∠OFE，

∴此種情況不成立；

當△FEO∽△DEB時，∠OFE=∠BDE=∠FAE，

∴△FAE∽△OFE∽△BDE，則，，

即，

∴y2=x2+5x①，②，

①②聯(lián)立得，，

∴E（,）

考點：圓的綜合題．