Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0）和（5，0），以AB為直徑在x軸的上方作半圓O，點(diǎn)C是該半圓上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC、BC，并延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使BC=CD，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，分別交x軸、線段AC于點(diǎn)E、F，E為垂足，連結(jié)OF．

（1）當(dāng)∠CAB=30°時(shí)，求弧BC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)AE=6時(shí)，求弦BC的長(zhǎng)；

（3）在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)O、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△DEB相似？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1） ;（2） ；（3） E（,）

【解析】

試題分析：（1）直接根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出AB的長(zhǎng)，連接OC，再根據(jù)∠CAB=30°求出∠BOC的度數(shù)，由弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；

（2）先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DBE，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)E（x，y），由（2）知，2BC2=AB•BE，BD=2BC，再分△OEF∽△DEB與△FEO∽△DEB兩種情況討論即可．

試題解析：（1）∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0）和（5，0），

∴AB=10．

連接OC，

∵∠CAB=30°，

∴∠BOC=60°，

∴

（2）∵DE⊥AB，

∴∠DEB=∠AEF=90°．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AC=90°，

∴∠DEB=∠ACB=∠AEF．

∵∠AFE=∠CFD，

∴∠FAE=∠EDB，

∴△ABC∽△DBE，

∴，

∵BC=CD，

∴，

解得BC=；

（3）設(shè)E（x，y），

∵，

∴2BC2=AB•BE，即BC=，

∴BD=2BC=2．

當(dāng)△OEF∽△DEB時(shí)，∠OFE=∠DBE，

∵∠AFE+∠EFC=180°，∠DBE+∠EFC=180°，

∴∠AFE=∠DBE，

∴∠OFE=∠AFE，

∵∠AFE＞∠OFE，

∴此種情況不成立；

當(dāng)△FEO∽△DEB時(shí)，∠OFE=∠BDE=∠FAE，

∴△FAE∽△OFE∽△BDE，則，，

即，

∴y2=x2+5x①，②，

①②聯(lián)立得，，

∴E（,）

考點(diǎn)：圓的綜合題．