Question

如圖，Rt△ABO的頂點(diǎn)A是雙曲線y=

k

x

與直線y=-x-（k+1）在第二象限的交點(diǎn)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，且S_△AOB=

3

2

．在第四象限的雙曲線上是否存在點(diǎn)P使△POC的面積等于△AOC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可求得k=-3，則反比例函數(shù)的解析式為y=-

3

x

，一次函數(shù)的解析式為y=-x+2，再解兩解析式所組成的方程組確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（-1，3），（3，-1），利用S_△AOC=S_△ADO+S_△CDO進(jìn)行計(jì)算，求出S_△AOC=4．作PE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由于S_△POC+S_△OCF=S_梯形CFEP+S_△POE，而S_△OCF=S_△POE，則S_△POC=S_梯形CFEP．然后分點(diǎn)P在C的左側(cè)與點(diǎn)P在C的右側(cè)兩種情況，根據(jù)S_梯形CFEP=4列出方程，解方程即可．

解答：解：∵S_△AOB=

3

2

，
∴

1

2

|k|=

3

2

，
而反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，即k＜0，
∴k=-3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-

3

x

，一次函數(shù)的解析式為y=-x+2，
根據(jù)題意得：

y=-x+2 y=- 3 x

，解得

x1=-1 y1=3

，

x2=3 y2=-1

，
∴交點(diǎn)A為（-1，3），C為（3，-1），
對(duì)于y=-x+2，令x=0，解得y=2，則直線y=-x+2與y軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），
∴S_△AOC=S_△ADO+S_△CDO=

1

2

×2×1+

1

2

×2×3=4．
作PE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
∵S_△POC+S_△OCF=S_梯形CFEP+S_△POE，
而S_△OCF=S_△POE，
∴S_△POC=S_梯形CFEP．
①當(dāng)點(diǎn)P在C的左側(cè)時(shí)，

1

2

（-y+1）（3-x）=4，
∵y=-

3

x

，
∴x²+8x-9=0，
解得x₁=-9（舍去），x₂=1，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-3，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3）；
②當(dāng)點(diǎn)P在C的右側(cè)時(shí)，同理，求得P點(diǎn)坐標(biāo)為（9，-

1

3

）．
綜上所述，在第四象限的雙曲線上存在點(diǎn)P使△POC的面積等于△AOC，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-3）或（9，-

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩個(gè)函數(shù)的解析式．也考查了三角形面積公式．