Question

如圖，雙曲線y=與直線y=x+1交于A、B兩點，A點在B點的右側．

（1）求A、B點的坐標；

（2）點C是雙曲線上一點，點D是x軸上一點，是否存在點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，寫出求解過程和點D的坐標；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點】反比例函數綜合題．

【分析】（1）聯立一次函數與反比例函數的解析式即可得出A、B兩點的坐標；

（2）根據AB兩點的坐標可求出線段AB的水平距離與豎直距離，再根據AB為平行四邊形的邊與對角線兩種情況進行討論即可．

【解答】解：（1）由消去y得，2x²+3x﹣9=0，

解得x₁=﹣3，x₂=，

點A的坐標為（，2），點B的坐標為（﹣3，﹣1）．

（2）∵A（，2），B（﹣3，﹣1），

∴線段AB的垂直距離為2﹣（﹣1）=3，水平距離為﹣（﹣3）=．

①令y=3，由y=得x=1，則1﹣=﹣，

∴點D的坐標（﹣，0）；

②令y=﹣3，由y=得x=﹣1，則﹣1+=，

∴點D的坐標（，0）；

③如圖，線段AB的中點E的坐標為（﹣，），過點C作CF⊥x軸于點G，點E作EG⊥OF于x軸點G，

則EG=，

∵EG是△CDF的中位線

∴CF=2EG=1，即F點的縱坐標為1，

∴C（3，1），

∴F（3，0）．

∴DG=GF，即3+=﹣﹣x，解得x=﹣．

點D的坐標（﹣，0）．

綜上所述，D點坐標為（﹣，0），（，0）或（﹣，0）．

【點評】本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到反比例函數圖象上點的坐標特點、平行四邊形的判定與性質等知識，在解答（2）時要注意進行分類討論．