Question

如圖，雙曲線y=與直線y=x+1交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè)．

（1）求A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，寫(xiě)出求解過(guò)程和點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．

【分析】（1）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出線段AB的水平距離與豎直距離，再根據(jù)AB為平行四邊形的邊與對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論即可．

【解答】解：（1）由消去y得，2x²+3x﹣9=0，

解得x₁=﹣3，x₂=，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1）．

（2）∵A（，2），B（﹣3，﹣1），

∴線段AB的垂直距離為2﹣（﹣1）=3，水平距離為﹣（﹣3）=．

①令y=3，由y=得x=1，則1﹣=﹣，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)（﹣，0）；

②令y=﹣3，由y=得x=﹣1，則﹣1+=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)（，0）；

③如圖，線段AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，），過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)G，點(diǎn)E作EG⊥OF于x軸點(diǎn)G，

則EG=，

∵EG是△CDF的中位線

∴CF=2EG=1，即F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，

∴C（3，1），

∴F（3，0）．

∴DG=GF，即3+=﹣﹣x，解得x=﹣．

點(diǎn)D的坐標(biāo)（﹣，0）．

綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0），（，0）或（﹣，0）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，在解答（2）時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論．