【題目】定義:在平面直角坐標系中,圖形G上點P(x,y)的縱坐標y與其橫坐標x的差y-x稱為P點的“坐標差”,而圖形G上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”
(1)①點A(1,3) 的“坐標差”為 。
②拋物線y=-x2+3x+3的“特征值”為 。
(2)某二次函數(shù)y=-x2+bx+c(c≠0) 的“特征值”為1,點B(m,0)與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點,且點B與點C的“坐標差”相等。
①直接寫出m= (用含c的式子表示)
②求此二次函數(shù)的表達式。
(3)如圖,在平面直角坐標系xOy中,以M(2,3)為圓心,2為半徑的圓與直線y=x相交于點D、E請直接寫出⊙M的“特征值”為 。
【答案】(1)① 2; ② 4; (2)① m= -c ; ②
;(3)
【解析】試題分析:
(1)①由題中所給“坐標差”的定義即可得到點A(1,3)的坐標差;
②由坐標差的定義可得:二次函數(shù)y=-x2+3x+3圖象上點的坐標差為: ,將此關(guān)系式配方即可求得y-x的最大值,從而得到拋物線y=-x2+3x+3的“特征值”;
(2)①由題意可得:0-m=c-0,由此可得:m=-c;
②由m=-c可得點B的坐標為(-c,0),把點B的坐標代入中可得,由可得,即;再由的特征值為1可得: ,兩者即可解得b何c的值,由此即可得到二次函數(shù)的解析式;
(3)如圖,過點M作直線PF⊥DE,交⊙M于點P和F,由已知條件易得直線PF的解析式為y=-x+5;由直線y=x上的所有點的坐標差為0,且坐標平面內(nèi)在直線y=x的右側(cè)距離直線y=x越遠的點的坐標差越大可知在⊙M上距離直線y=x最遠的點是點P,設點P的坐標為(x,y)由點P到M的距離為2,可得到關(guān)于x、y的方程,和y=-x+5組合即可解得點P的坐標,這樣就可得到⊙M的特征值了.
試題解析:
(1)① ∵點A的坐標為(1,3),
∴點A的坐標差為:3-1= 2;
② ∵二次函數(shù)的解析式為:y=-x2+3x+3,
∴該二次函數(shù)圖象上所有點的坐標差都滿足: ,
∵,即該二次函數(shù)圖象上點的坐標差的最大值為4,
∴該二次函數(shù)圖象的特征值為:4;
(2)① 由已知易得點C的坐標為(0,c),而B的坐標為(m,0),
∴點C的坐標差為:c-0,點B的坐標差為:0-m,
又∵點B與點C的“坐標差”相等,
∴c-0=0-m,
∴m=-c;
② ∵m=-c,
∴B(-c,0),
將其代入 中,
得, ,
∵c≠0,
∴,
∴ ① ,
∴ 的“坐標差”為:
,
∵“特征值”為1,
∴ ②,
將①代入②中,得:
∴ ,
∴拋物線的表達式為 ;
(3)如圖,過點M作直線PF⊥DE,交⊙M于點P和F,
∵直線DE的解析式為:y=x,點M的坐標為(2,3),
∴直線PF的解析式為y=-x+5,
∵直線y=x上所有點的坐標差都等于0,而在直線y=x的右側(cè)距離直線y=x越遠的點的坐標差就越大,而⊙M上點P距離直線y=x最遠,
∴點P的坐標差就是⊙M的“特征值”,
設點P的坐標為(x,y),
∵點P到點M(2,3)的距離為2,
∴有,
又∵點P(x,y)在直線y=-x+5上,
∴,解得: ,
∴對應的: ,
∴點P的坐標為,
∴點P的坐標差為: ,
∴⊙M的“特征值”為: .
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知⊙O的直徑為10,點A,點B,點C在⊙O上,∠CAB的平分線交⊙O于點D.
(1)如圖①,若BC為⊙O的直徑,AB=6,求AC,BD,CD的長;
(2)如圖②,若∠CAB=60°,求BD的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在美化校園的活動中,某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長),用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB,BC兩邊),設AB=xm.若在P處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是15m和6m,要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界,不考慮樹的粗細),則花園面積S的最大值為_____m2.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,,,.
(1)請畫出關(guān)于軸對稱的;
(2)直接寫出的面積為 ;
(3)請僅用無刻度的直尺畫出的平分線,保留作圖痕跡.
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【題目】漣水外賣市場競爭激烈,美團、餓了么等公司訂單大量增加,某公司負責招聘外賣送餐員,具體方案如下:每月不超出750單,每單收入4元;超出750單的部分每單收入m元.
(1)若某“外賣小哥”某月送了500單,收入 元;
(2)若“外賣小哥”每月收入為y(元),每月送單量為x單,y與x之間的關(guān)系如圖所示,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若“外賣小哥”甲和乙在某個月內(nèi)共送單1200單,且甲送單量低于乙送單量,共收入5000元,問:甲、乙送單量各是多少?
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)圖象的一部分,與x軸的交點A在點(2,0)和(3,0)之間,對稱軸是x=1.對于下列說法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m為實數(shù));⑤當﹣1<x<3時,y>0,其中正確的是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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【題目】某超市在端午節(jié)期間開展優(yōu)惠活動,凡購物者可以通過轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的方式享受折扣優(yōu)惠,本次活動共有兩種方式,方式一:轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲,指針指向 A區(qū)域時,所購買物品享受9折優(yōu)惠、指針指向其它區(qū)域無優(yōu)惠;方式二: 同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙,若兩個轉(zhuǎn)盤的指針指向每個區(qū)域的字母相同,所購買物品享受8折優(yōu)惠,其它情況無優(yōu)惠.在每個轉(zhuǎn)盤中,指針指向每個區(qū)城的可能性相同(若指針指向分界線,則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤)
(1)若顧客選擇方式一,則享受 9 折優(yōu)惠的概率為_______;
(2)若顧客選擇方式二,請用樹狀圖或列表法列出所有可能,并求顧客享受8折優(yōu)惠的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下面是“作出弧AB所在的圓”的尺規(guī)作圖過程.
已知:弧AB.
求作:弧AB所在的圓.
作法:如圖,
(1)在弧AB上任取三個點D,C,E;
(2)連接DC,EC;
(3)分別作DC和EC的垂直平分線,兩垂直平分線的交點為點O.
(4)以 O為圓心,OC長為半徑作圓,所以⊙O即為所求作的弧AB所在的圓.
請回答:該尺規(guī)作圖的依據(jù)是_____.
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