【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn),過點(diǎn)C的直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,AE⊥DC,垂足為E,F(xiàn)是AE與⊙O的交點(diǎn),AC平分∠BAE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AE=6,∠D=30°,求圖中陰影部分的面積.
【答案】
(1)證明:連接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠BAE,
∴∠OAC=∠CAE,
∴∠OCA=∠CAE,
∴OC∥AE,
∴∠OCD=∠E,
∵AE⊥DE,
∴∠E=90°,
∴∠OCD=90°,
∴OC⊥CD,
∵點(diǎn)C在圓O上,OC為圓O的半徑,
∴CD是圓O的切線
(2)解:在Rt△AED中,
∵∠D=30°,AE=6,
∴AD=2AE=12,
在Rt△OCD中,∵∠D=30°,
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC,
∴DB=OB=OC= AD=4,DO=8,
∴CD= = =4 ,
∴S△OCD= = =8 ,
∵∠D=30°,∠OCD=90°,
∴∠DOC=60°,
∴S扇形OBC= ×π×OC2= ,
∵S陰影=S△COD﹣S扇形OBC
∴S陰影=8 ﹣ ,
∴陰影部分的面積為8 ﹣
【解析】(1)連接OC,先證明∠OAC=∠OCA,進(jìn)而得到OC∥AE,于是得到OC⊥CD,進(jìn)而證明DE是⊙O的切線;(2)分別求出△OCD的面積和扇形OBC的面積,利用S陰影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用切線的判定定理和扇形面積計(jì)算公式,掌握切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;在圓上,由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形;扇形面積S=π(R2-r2)即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,D是△ABC的邊BC上一點(diǎn),AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.如果△ABD的面積為15,那么△ACD的面積為( )
A.15
B.10
C.
D.5
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【題目】如圖,在△ACB中,∠ACB=90°,D、E為斜邊AB上的兩點(diǎn),且BD=BC,AE=AC,求∠DCE的度數(shù).
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【題目】如圖,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的頂點(diǎn)D,F(xiàn)分別在AC,BC邊上,設(shè)CD的長(zhǎng)度為x,△ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y,則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】閱讀材料: 小明在學(xué)習(xí)二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方,如:,善于思考的小明進(jìn)行了以下探索:
設(shè)(其中均為整數(shù)),則有.
∴.這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法.
請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題:
當(dāng)均為正整數(shù)時(shí),若,用含m、n的式子分別表示,得= ,= ;
(2)利用所探索的結(jié)論,找一組正整數(shù),填空: + =( + )2;
(3)若,且均為正整數(shù),求的值.
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【題目】如圖,直線y=kx-6經(jīng)過點(diǎn)A(4,0),直線y=-3x+3與x軸交于點(diǎn)B,且兩直線交于點(diǎn)C.
(1)求k的值;
(2)求△ABC的面積.
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【題目】小李從西安通過某快遞公司給在南昌的外婆寄一盒櫻桃,快遞時(shí),他了解到這個(gè)公司除收取每次6元的包裝費(fèi)外,櫻桃不超過1kg收費(fèi)22元,超過1kg,則超出部分按每千克10元加收費(fèi)用.設(shè)該公司從西安到南昌快遞櫻桃的費(fèi)用為y(元),所寄櫻桃為x(kg).
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知小李給外婆快寄了2.5kg櫻桃,請(qǐng)你求出這次快寄的費(fèi)用是多少元?
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【題目】西安市在創(chuàng)建文明城區(qū)的活動(dòng)中,有兩個(gè)長(zhǎng)度相等的彩色磚道鋪設(shè)任務(wù),分別交給甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)行施工,如圖是反映所鋪設(shè)的彩色磚道的長(zhǎng)度y(米)與施工時(shí)間x(小時(shí))之間關(guān)系的部分圖象,請(qǐng)解答下列問題:
(1)求乙隊(duì)在0≤x≤6的時(shí)段內(nèi)y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)如果甲隊(duì)施工速度不變,乙隊(duì)在施工6小時(shí)后,施工速度增加到12米/小時(shí),結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成了任務(wù),求甲隊(duì)從開始施工到完成所鋪設(shè)的彩色磚道的長(zhǎng)度為多少米?
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【題目】在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O為BC的中點(diǎn)。
(1)寫出點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的大小關(guān)系并說明理由;
(2)如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng),在移動(dòng)中保持AN=BM,請(qǐng)判斷△OMN的形狀,并證明你的結(jié)論。
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