【題目】如圖,四邊形ADBC內(nèi)接于⊙O,AD平分∠EDC,AE∥BC交直線BD于E.
(1)求證:AE是⊙O的切線;
(2)若CD為直徑,tan∠ADE=2,求sin∠BDC的值.
【答案】(1)見解析(2).
【解析】
(1)連接AB,連接AO并延長交BC于F,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ADE=∠ACB,再由圓周角定理證出∠ABC=∠ACB,得出AB=AC,得出AF⊥BC,證出AE⊥AF即可得出結(jié)論;
(2)連接AO并延長交BC于G,由圓周角定理得出∠DAC=∠CBD=90°,證出四邊形AEBG是矩形,得出BG=AE,AG=BE,由三角函數(shù)得出AE=2DE,AC=2AD,AG=2CG=BC=2AE=4DE,得出AD=DE,CD=AD=5DE,即可得出結(jié)果.
(1)證明:連接AB,連接AO并延長交BC于F,如圖1所示:
∵四邊形ADBC內(nèi)接于⊙O,AD平分∠EDC,
∴∠ADE=∠ACB,∠ADE=∠ADC,
∵∠ADC=∠ABC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∴AF⊥BC
∵AE∥BC,
∴AE⊥AF,
∴AE是⊙O的切線;
(2)解:連接AO并延長交BC于G,如圖2所示:
∵CD為直徑,
∴∠DAC=∠CBD=90°,
∵AE∥BC,
∴∠E+∠CBD=90°,
∴∠E=90°,
∴四邊形AEBG是矩形,
∴BG=AE,AG=BE,
∵∠ADE=∠ADC=∠ACB,
∴,
∴AE=2DE,AC=2AD,AG=2CG=BC=2AE=4DE,
∴AD=DE,CD=AD=5DE,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,拋物線(a<0)與x軸交于A(3,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對稱軸是直線x=1,D為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)E在y軸C點(diǎn)的上方,且CE=.
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)求證:直線DE是△ACD外接圓的切線;
(3)在直線AC上方的拋物線上找一點(diǎn)P,使,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)M,使以點(diǎn)B、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),四邊形OABC是矩形,四邊形ADEF是正方形,點(diǎn)A,D在x軸的正半軸上,點(diǎn)F在BA上,點(diǎn)B、E均在反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象上,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,6),則正方形ADEF的邊長為( )
A.1B.2C.4D.6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,過點(diǎn)A(0,4)的圓的圓心坐標(biāo)為C(2,0),B是第一象限圓弧上的一點(diǎn),且BC⊥AC,拋物線經(jīng)過C、B兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為D.
(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為( , ),拋物線的表達(dá)式為 .
(2)如圖2,求證:BD//AC;
(3)如圖3,點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn),且AQ=5,直線AQ交⊙C于點(diǎn)P,求AP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以AD為直徑的半圓O經(jīng)過Rt△ABC斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn),交直角邊AC于點(diǎn)E;B、E是半圓弧的三等分點(diǎn),的長為,則圖中陰影部分的面積為( 。
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一天晚上,李明利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度.如圖,當(dāng)在點(diǎn)A處放置標(biāo)桿時(shí),李明測得直立的標(biāo)桿高AM與影子長AE正好相等,接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走,走到點(diǎn)B處放置同一個(gè)標(biāo)桿,測得直立標(biāo)桿高BN的影子恰好是線段AB,并測得AB=1.2m,已知標(biāo)桿直立時(shí)的高為1.8m,求路燈的高CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,P是拋物線y=﹣x2+x+2在第一象限上的點(diǎn),過點(diǎn)P分別向x軸和y軸引垂線,垂足分別為A,B,則四邊形OAPB周長的最大值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角系中,點(diǎn)A在x軸正半軸上,點(diǎn)B在y軸正半軸上,∠ABO=30°,AB=2,以AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊△ABC,反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)D,邊AC與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求點(diǎn)E的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)
(1)求此反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.
(2)根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x取值范圍.
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