【題目】(1)老師在課上給出了這樣一道題目:如圖(1),等邊△ABC邊長為2,過AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于E,Q為BC延長線上一點(diǎn),且AP=CQ,連接PQ交AC于D,求DE的長.
小明同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真思考后認(rèn)為,可以通過過點(diǎn)P作平行線構(gòu)造等邊三角形的方法來解決這個(gè)問題.請(qǐng)根據(jù)小明同學(xué)的思路直接寫出DE的長.
(2)(類比探究)
老師引導(dǎo)同學(xué)繼續(xù)研究:
①等邊△ABC邊長為2,當(dāng)P為BA的延長線上一點(diǎn)時(shí),作PE⊥CA的延長線于點(diǎn)E ,Q為邊BC上一點(diǎn),且AP=CQ,連接PQ交AC于D.請(qǐng)你在圖(2)中補(bǔ)全圖形并求DE的長.
②已知等邊△ABC,當(dāng)P為AB的延長線上一點(diǎn)時(shí),作PE⊥射線AC于點(diǎn)E, Q為哪一個(gè)(①BC邊上;②BC的延長線上;③CB的延長線上)一點(diǎn),且AP=CQ,連接PQ交直線AC于點(diǎn)D,能使得DE的長度保持不變.( 直接寫出答案的編號(hào))
【答案】(1)DE=1;(2) ①正確補(bǔ)全圖形見解析,② ②.
【解析】
(1)過P作PF∥BC交AC于F,得出等邊三角形APF,推出AP=PF=QC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE,證△PFD≌△QCD,推出FD=CD,推出DEAC即可;
(2)①過點(diǎn)P作PF∥BC交CA的延長線與點(diǎn)F,由平行線的性質(zhì)得出∠PFA=∠C.
再證明△APF為等邊三角形,得到AP=PF.進(jìn)一步得到AE=FE=.由SAS證明△FDP≌△CDQ,得到FD=CD=,根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論.
②如圖,過P作直線PF∥BC交直線AC于F,通過證明△APF是等邊三角形,得到AP=PF.進(jìn)而得到EF=AE=AF.再由線段的和差即可得出結(jié)論.
(1)過P作PF∥BC交AC于F.
∵PF∥BC,△ABC是等邊三角形,∴∠PFD=∠QCD,△APF是等邊三角形,∴AP=PF=AF.
∵PE⊥AC,∴AE=EF.
∵AP=PF,AP=CQ,∴PF=CQ.
在△PFD和△QCD中,∵,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴FD=CD.
∵AE=EF,∴EF+FD=AE+CD,∴AE+CD=DEAC.
∵AC=2,∴DE=1.
(2)①正確補(bǔ)全圖形.
過點(diǎn)P作PF∥BC交CA的延長線與點(diǎn)F,∴∠PFA=∠C.
∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=∠C=60°,∴∠PFA=∠PAF=60°,∴△APF為等邊三角形,∴AP=PF.
又∵PE⊥CA的延長線于點(diǎn)E,∴AE=FE=.
∵AP=CQ,∴PF=QC.
∵∠FDP=∠CDQ,∴△FDP≌△CDQ,∴FD=CD=,∴DE=DF﹣EF=.
② 答案為②.理由如下:
如圖,過P作直線PF∥BC交直線AC于F,∴∠APF=∠ABC=60°.
∵∠A=60°,∴△APF是等邊三角形,∴AP=PF.
∵AP=CQ,∴PF=QC.
∵PF∥BC,∴∠F=∠DCQ,∠FPD=∠Q.
在△DPF和△DQC中,∵∠F=∠DCQ,PF=QC,∠FPD=∠Q,∴△DPF≌△DQC,∴CD=DF=CF.
∵△APF是等邊三角形,PE⊥AF,∴EF=AE=AF.
∵ED=EF﹣DF,∴ED=AF﹣CF=(AF﹣CF)=AC.
∵AC的長度不變,∴DE的長度保持不變.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=60°,∠C=45°,AD是BC邊上的高,∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)F,則圖中共有等腰三角形( )
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在8×5的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長均為1,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)在圖1中畫△ABD(點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上),使△ABD的周長等于△ABC的周長,且以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形;
(2)在圖2中畫△ABE(點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上),使△ABE的周長等于△ABC的周長,且以A,B,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是中心對(duì)稱圖形,并直接寫出該四邊形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A城有某種農(nóng)機(jī)30臺(tái),B城有該農(nóng)機(jī)40臺(tái),現(xiàn)要將這些農(nóng)機(jī)全部運(yùn)往C,D兩鄉(xiāng),調(diào)運(yùn)任務(wù)承包給某運(yùn)輸公司.已知C鄉(xiāng)需要農(nóng)機(jī)34臺(tái),D鄉(xiāng)需要農(nóng)機(jī)36臺(tái),從A城往C,D兩鄉(xiāng)運(yùn)送農(nóng)機(jī)的費(fèi)用分別為250元/臺(tái)和200元/臺(tái),從B城往C,D兩鄉(xiāng)運(yùn)送農(nóng)機(jī)的費(fèi)用分別為150元/臺(tái)和240元/臺(tái).
(1)設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)該農(nóng)機(jī)x臺(tái),運(yùn)送全部農(nóng)機(jī)的總費(fèi)用為W元,求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
(2)現(xiàn)該運(yùn)輸公司要求運(yùn)送全部農(nóng)機(jī)的總費(fèi)用不低于16460元,則有多少種不同的調(diào)運(yùn)方案?將這些方案設(shè)計(jì)出來.
(3)現(xiàn)該運(yùn)輸公司決定對(duì)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的農(nóng)機(jī),從運(yùn)輸費(fèi)中每臺(tái)減免a元(a≤200)作為優(yōu)惠,其他費(fèi)用不變,如何調(diào)運(yùn),使總費(fèi)用最少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,連結(jié)CE交AD于點(diǎn)F,連結(jié)BD交CE于點(diǎn)G,連結(jié)BE.下列結(jié)論:①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④S四邊形BCDE=BD·CE;⑤BC2+DE2=BE2+CD2.其中正確的結(jié)論有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt中,,分別以點(diǎn)A、C為圓心,大于長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M、N,連結(jié)MN,與AC、BC分別交于點(diǎn)D、E,連結(jié)AE.
(1)求;(直接寫出結(jié)果)
(2)當(dāng)AB=3,AC=5時(shí),求的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,點(diǎn)E、F在線段BD上,AB=CD,∠B=∠D,BF=DE.
求證:(1)AE=CF;(2)AF∥CE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD對(duì)角線BD上截取BE=BC,連接CE并延長交AD于點(diǎn)F,連接AE,過B作BG⊥AE于點(diǎn)G,交AD于點(diǎn)H,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. AH=DF B. S四邊形EFHG=S△DCF+S△AGH
C. ∠AEF=45° D. △ABH≌△DCF
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