Question

【題目】我們給拋物線y＝a（x﹣h）2＋k（a≠0）定義一種變換，先作這條拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線，再將得到的對(duì)稱拋物線向上平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線ym，則我們稱ym為二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2＋k（a≠0）的m階變換．若拋物線M的6階變換的關(guān)系式為．

（1）拋物線M的函數(shù)表達(dá)式為　 　；

（2）若拋物線M的頂點(diǎn)為點(diǎn)A，與r軸相交的兩個(gè)交點(diǎn)中的左側(cè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，則在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P與直線AB的距離最短？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣（x＋1）2＋1��；（2）存在， P(，)

【解析】

（1）6階變換的關(guān)系式對(duì)應(yīng)的函數(shù)頂點(diǎn)為：(1，5)，則函數(shù)M的頂點(diǎn)為：(﹣1，1)，即可求解；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再由DP＝PH＝（x2﹣2x＋6﹣x﹣2）＝（x2﹣3x＋4），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

（1）6階變換的關(guān)系式對(duì)應(yīng)的函數(shù)頂點(diǎn)為：(1，5)，將頂點(diǎn)坐標(biāo)先向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴變換前函數(shù)M的頂點(diǎn)為：(﹣1，1)，

∴函數(shù)M的表達(dá)式為：y＝﹣（x＋1）2＋1，

故答案為：y＝﹣（x＋1）2＋1；

（2）存在，理由：

y＝﹣（x＋1）2＋1，令y＝0，則x＝﹣2或0，

故點(diǎn)B(﹣2，0)，而點(diǎn)A(﹣1，1)，

將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx＋b得：

，解得：，

故直線AB的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x＋2，

y6′＝（x﹣1）2＋5＝x2﹣2x＋6，

如下圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB交于點(diǎn)D，故點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)H，

∵直線AB的傾斜角為45°，則DP＝PH，

設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣2x＋6），則點(diǎn)H（x，x＋2），

DP＝PH＝（x2﹣2x＋6﹣x﹣2）＝（x2﹣3x＋4），

∵＞0，故DP有最小值，此時(shí)x＝，

故點(diǎn)P(，)．