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【題目】已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE=α,直線AE與BD交于點(diǎn)F.
(1)如圖1所示,
①求證AE= BD
②求∠AFB (用含α的代數(shù)式表示)
(2)將圖1中的△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度(交點(diǎn)F至少在BD、AE中的一條線段上),得到如圖2所示的圖形,若∠AFB= 150°,請(qǐng)直接寫出此時(shí)對(duì)應(yīng)的α的大小(不用證明)
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【題目】我們知道,對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解:n=pq(p,q是正整數(shù),且p≤q),在n的所有這種分解中,如果p,q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小,我們就稱pq是n的最佳分解,并規(guī)定:F(n)=,例如12可以分解為112,26或34,因?yàn)?2-1>6-2>4-3,所以34是最佳分解,所以F(n)=。
(1)如果一個(gè)正整數(shù)是另外一個(gè)正整數(shù)b的平方,我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù),求證:對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有F(m)=1
(2)如果一個(gè)兩位正整數(shù)t,t=10x+y。1≤x≤y≤9,x,y為自然數(shù)),交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18,那么我們就稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”,求所有“吉祥數(shù)”中F(t)的最大值。
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【題目】(知識(shí)生成)我們已經(jīng)知道,對(duì)于一個(gè)圖形,通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式,例如由圖1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2請(qǐng)解答下列問題:
(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式________________;
(2)利用(1)中所得到的結(jié)論,解決下面的問題:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;
(3)小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形,y張邊長(zhǎng)為b的正方形,z張寬、長(zhǎng)分別為a,b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為(2a+b)(a+2b)長(zhǎng)方形,則x+y+z=_______;
(知識(shí)遷移)(4)事實(shí)上,通過計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式,圖4表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體,請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系,寫出一個(gè)數(shù)學(xué)等式:_______________.
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【題目】若二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn),坐標(biāo)分別為、,且,圖象上有一點(diǎn)在軸下方,在下列四個(gè)算式中判定正確的是________.
①;②;③;④.
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【題目】如圖是拋物線圖象的一部分,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),與軸的一個(gè)交點(diǎn),直線與拋物線交于,兩點(diǎn),下列結(jié)論:
①;②;③方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
④拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)是;⑤當(dāng)時(shí),有,
其中正確的序號(hào)是________.
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【題目】如圖,拋物線的對(duì)稱軸為,與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間,其部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論:
;;點(diǎn)、、是該拋物線上的點(diǎn),則;;(為任意實(shí)數(shù)).
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【題目】一塊含45°的直角三角板ABC, AB=AC, ∠BAC=90°, 點(diǎn)D為射線CB上一點(diǎn),且不與點(diǎn)C,點(diǎn)B重合,連接AD.過點(diǎn)A作線段AD的垂線l,在直線l上,截取AE=AD(點(diǎn)E與點(diǎn)C在直線AD的同側(cè)),連接CE.
(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí),如圖1,線段CE與BD的數(shù)量關(guān)系為____________,位置關(guān)系為___________;
(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2,
①請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整;
②(1)中的結(jié)論是否仍成立?如果成立,請(qǐng)證明;如果不成立,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,已知,以為直徑,為圓心的半圓交于點(diǎn),點(diǎn)為弧的中點(diǎn),連接交于點(diǎn),為的角平分線,且,垂足為點(diǎn).
判斷直線與的位置關(guān)系,并說明理由;
若,,求的長(zhǎng).
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【題目】閱讀下面的材料,解決問題.
例題:若m2 +2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.
解:∵ m2+2mn+2n2- 6n+9=0,
∴m2 +2mn+n2+n2-6n+9=0,
∴(m+n)2 +(n-3)2=0,
∴m+n=0, n-3=0,
∴m=-3, n=3.
問題: (1)若2x2 +4x-2xy+y2 +4=0,求xy的值;
(2)已知a, b, c是△ABC的三邊長(zhǎng),且滿足a2+b2=10a+8b-41,求c的取值范圍.
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【題目】如圖,內(nèi)接于,是直徑,的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接.
判斷與的位置關(guān)系并說明理由;
若的半徑為,,求的長(zhǎng).
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