Question

4．已知直線l：y=x+b，圓C：x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（a＞0）．
（1）當a=1時，直線l與圓C相切，求b的值；
（2）當b=4時，求直線l被圓C所截得弦長的最大值；
（3）當b=1時，是否存在a，使得直線l與圓C相交于A，B兩點，且滿足x₁x₂+y₁y₂=1？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，直線l與圓C相切，圓心C到直線l的距離=r，即可求b的值；
（2）設直線l被圓C所截得弦長為L，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關系是：L=2$\sqrt{-2{a}^{2}+12a-8}$=2$\sqrt{-2（a-3）^{2}+10}$，即可求直線l被圓C所截得弦長的最大值；
（3）聯立方程，消去y得  2x²+2x+2a²-6a+1=0，利用x₁x₂+y₁y₂=1，即可得出結論．

解答 解：（1）已知圓的標準方程是（x+a）²+（y-a）²=4a（a＞0），
則圓心C的坐標是（-a，a），半徑為2$\sqrt{a}$．
當a=1時，直線l與圓C相切，圓心C到直線l的距離是$\frac{|-2+b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，∴b=0或4；
（2）直線l的方程化為：x-y+4=0．則圓心C到直線l的距離是$\frac{|4-2a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|2-a|．
設直線l被圓C所截得弦長為L，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關系是：
L=2$\sqrt{-2{a}^{2}+12a-8}$=2$\sqrt{-2（a-3）^{2}+10}$，
∵a＞0，∴當a=3時，L的最大值為2$\sqrt{10}$．
（3）當b=1時，假設存在a，使直線l：y=x+1與圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
聯立方程，消去y得  2x²+2x+2a²-6a+1=0，
∴x₁+x₂=-1，x₁x₂=a²-3a+$\frac{1}{2}$
又∵y₁•y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁•x₂+（x₁+x₂）+1
=2（a²-3a+$\frac{1}{2}$）-1+1=1，
即：2a²-6a=0，解得：a=3或a=0，
又∵△=2²-8（2a²-6a+1）＜0，故不存在a，使得直線l與⊙C相交于A、B兩點，且滿足x₁x₂+y₁y₂=1．

點評 本題主要考查直線與圓的位置關系及其方程的應用，主要涉及了直線與圓相切、相交，本題利用二次函數法求函數的最值和范圍，是常用的方法．