Question

18．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）設(shè)l與C₁相交于A，B兩點，求|AB|；
（2）若把曲線C₁上各點的橫坐標壓縮為原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標壓縮為原來的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$得到曲線C₂，設(shè)點P是曲線C₂上的一個動點，求它到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）分別求出曲線C₁和直線l的普通方程，把直線l代入曲線C₁，得2x²-2x-3=0，由此能求出|AB|．
（2）求出C₂的參數(shù)方程C₂：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=cosθ}\\{{y}^{'}=\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），從而點P的坐標是$（cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，由此能求出動點P到直線l的距離的最大值．

解答 解：（1）∵曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴消去參數(shù)，得曲線C₁的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$消去參數(shù)t，得y=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得2x²-2x-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=1，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{3}{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）（1+4×\frac{3}{2}）}$=$\frac{\sqrt{35}}{2}$．
（2）∵把曲線C₁上各點的橫坐標壓縮為原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標壓縮為原來的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$得到曲線C₂，
∴C₂的參數(shù)方程C₂：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=cosθ}\\{{y}^{'}=\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），
∵點P是曲線C₂上的一個動點，∴點P的坐標是$（cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，
從而點P到直線l的距離是$d=\frac{1}{{\sqrt{5}}}|{\sqrt{3}sinθ-cosθ+1}|=\frac{1}{{\sqrt{5}}}|{2sin（θ-\frac{π}{6}）+1}|$，
由此當$sin（θ-\frac{π}{6}）=1$時，d取得最大值${d_{max}}=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查弦長的求法，考查點到直線的距離的最大值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意弦長公式和點到直線的距離公式的合理運用．