Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow$=（-sinα，cosα），$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0．
（1）求函數(shù)k=f（t）的表達式；
（2）若t∈[-1，3]，求f（t）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)公式可得；
（2）由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow$=（-sinα，cosα），$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=4cos²α+4sin²α=4，${\overrightarrow}^{2}$=cos²α+sin²α=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-2cosαsinα+2sinαcosα=0
∴$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=-k${\overrightarrow{a}}^{2}$+（t²-3）${\overrightarrow}^{2}$+（1+3k-kt²）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-4k+（t²-3）=0，
∴k=f（t）=$\frac{1}{4}$（t²-3）；
（2）由二次函數(shù)可知，f（t）=$\frac{1}{4}$（t²-3）圖象為開口向上的拋物線，
對稱軸為t=0，故當t=0時，函數(shù)取最小值-$\frac{3}{4}$，
當t=3時，函數(shù)取最大值$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的運算，涉及平面向量的數(shù)量積和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬基礎(chǔ)題．