Question

9．設△ABC的角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且2bcosA=acosC+ccosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意和正弦定理以及三角函數(shù)公式可得cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理可得a²=（b+c）²-3bc將a=2，b+c=4代入上式可得bc=4，整體代入三角形的面積公式計算可得．

解答 解：（1）∵△ABC中2bcosA=acosC+ccosA，
∴由正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，
∴2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
又sinB≠0，∴cosA=$\frac{1}{2}$，
由0＜A＜π可得A=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA
=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
將a=2，b+c=4代入上式可得bc=4，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式和整體思想，屬基礎題．