Question

20．已知兩個(gè)非零平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ都有|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$|
（1）若|$\overrightarrow$|=2，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$，求$\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}$（t∈R）的最小值．

Answer 1

分析 （1）把不等式兩邊平方，化為關(guān)于λ的不等式，再由△≤0求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值；
（2）由$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$，結(jié)合已知可得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，把$\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}$轉(zhuǎn)化為根式內(nèi)部后化為關(guān)于t的二次三項(xiàng)式求得最小值．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$|，得
$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrowλ+|\overrightarrow{|}^{2}{λ}^{2}-|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-$$\frac{1}{4}$$|\overrightarrow{|}^{2}≥0$，
即$4{λ}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrowλ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-1≥0$．
∵對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ都有|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$|，
∴△=$4（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}-16\overrightarrow{a}•\overrightarrow+16≤0$，
即$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2）^{2}≤0$．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2$；
（2）由$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$，結(jié)合已知可得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}$=$\sqrt{\frac{（2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow）^{2}}{|\overrightarrow{|}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4t|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos\frac{π}{6}+{t}^{2}|\overrightarrow{|}^{2}}{|\overrightarrow{|}^{2}}}$
=$\sqrt{4（\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}）^{2}-2\sqrt{3}t\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}+{t}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-2t+\frac{4}{3}}$=$\sqrt{（t-1）^{2}+\frac{1}{3}}$．
∴$\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}$的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)是解答該題的關(guān)鍵，屬中檔題．