Question

15．已知$\overrightarrow{m}$=（2-sin（2x+$\frac{π}{6}$），-2），$\overrightarrow{n}$=（1，sin²x），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若f（$\frac{B}{2}$）=1，b=1，c=$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得解析式f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由余弦函數(shù)的有界性即可求值域．
（2）由f（$\frac{B}{2}$）=1，得cos（B+$\frac{π}{3}$）=0，又結(jié)合范圍0＜B＜π，即可解得B的值，由正弦定理可求sinC，解得C，解得A，即可解得a的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2-sin（2x+$\frac{π}{6}$）-2sin²x=2-（sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2xsin$\frac{π}{6}$）-（1-cos2x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1．          …（2分）
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，∴-1≤cos（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$，從而有0≤f（x）≤$\frac{3}{2}$，
所以函數(shù)f（x）的值域為[0，$\frac{3}{2}$]．                   …（4分）
（2）由f（$\frac{B}{2}$）=1，得cos（B+$\frac{π}{3}$）=0，又因為0＜B＜π，所以$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{3}$$＜\frac{4π}{3}$，
從而B+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{6}$．                     …（6分）
因為b=1，c=$\sqrt{3}$，所以由正弦定理$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$得sinC=$\frac{csinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
當(dāng)C=$\frac{π}{3}$時，A=$\frac{π}{2}$，從而a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2，
當(dāng)C=$\frac{2π}{3}$時，A=$\frac{π}{6}$，又B=$\frac{π}{6}$，從而a=b=1
綜上a的值為1或2．…（12分）
（用余弦定理類似給分）．

點(diǎn)評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理，勾股定理的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．