Question

8．如圖，在平面直角坐標系中xOy中，以Ox軸的非負半軸為始邊做兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點，已知A，B的橫坐標分別為$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求cos，sinβ；
（2）若tanθ=cotβ，求$\frac{1}{3}$sinθcosθ+sin²θ+2的值．

Answer 1

分析 （1）在單位圓中，由已知點的橫坐標求出縱坐標，利用三角函數(shù)的定義求得cosα，sinβ的值；
（2）由tanθ=cotβ求出tanθ，再把$\frac{1}{3}$sinθcosθ+sin²θ+2化弦為切得答案．

解答 解：（1）如圖，在單位圓中，
∵A，B的橫坐標分別為$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴A的縱坐標為$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{10}）^{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$，B的縱坐標為$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴cos$α=\frac{\sqrt{2}}{10}$，sin$β=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）tan$β=\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{1}{2}$，tanθ=cotβ=$\frac{1}{tanβ}=2$，
∴$\frac{1}{3}$sinθcosθ+sin²θ+2=$\frac{1}{3}$sinθcosθ+3sin²θ+2cos²θ
=$\frac{\frac{1}{3}sinθcosθ+3si{n}^{2}θ+2co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{\frac{1}{3}tanθ+3ta{n}^{2}θ+2}{ta{n}^{2}θ+1}$
=$\frac{\frac{1}{3}×2+3×4+2}{4+1}=\frac{\frac{44}{3}}{5}=\frac{44}{15}$．

點評 本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查了三角函數(shù)的化簡求值，對于（2）的求解，靈活利用sin²θ+cos²θ=1是關鍵，是中檔題．