Question

1．對于每一個實數x，設f（x）是4x+1，x+2和4-2x三個函數中的最小值，則f（x）的最大值是（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． 3
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，分段求最大值得出．

解答 解：解$\left\{\begin{array}{l}{4x+1＜x+2}\\{4x+1＜4-2x}\end{array}\right.$，得x$＜\frac{1}{3}$，解$\left\{\begin{array}{l}{x+2＜4x+1}\\{x+2＜4-2x}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{3}＜x＜\frac{2}{3}$，解$\left\{\begin{array}{l}{4-2x＜4x+1}\\{4-2x＜x+2}\end{array}\right.$，得x$＞\frac{2}{3}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x+1，x≤\frac{1}{3}}\\{x+2，\frac{1}{3}＜x＜\frac{2}{3}}\\{4-2x，x≥\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
當x$≤\frac{1}{3}$時，f（x）是增函數，f_max（x）=f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{7}{3}$，
當$\frac{1}{3}＜x＜\frac{2}{3}$時，f（x）是增函數，f_max（x）=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{3}$，
當x≥$\frac{2}{3}$時，f（x）是減函數，f_max（x）=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{3}$．
綜上，f（x）的最大值是$\frac{8}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了分段函數最值的求法，求出f（x）的解析式是關鍵．