Question

數(shù)列{a_n}滿足條件a₁=1，a_n=a_n-1+（

1

3

）^n-1（n=2，3，…）．
（1）求{a_n}；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁=1，a_n-a_n-1=（

1

3

）^n-1，由此利用累加法能求出a_n．
（2）由a_n=

3

2

-

1

2•3n-1

，利用分組求和法能求出a₁+a₂+a₃+…+a_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足條件a₁=1，a_n=a_n-1+（

1

3

）^n-1（n=2，3，…），
∴a_n-a_n-1=（

1

3

）^n-1，
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=1+

1

3

+（

1

3

）²+…+（

1

3

）^n-1
=

1- 1 3n

1- 1 3

=

3

2

-

1

2•3n-1

．
（2）a₁+a₂+a₃+…+a_n
=

3

2

n-

1

2

[1+

1

3

+（

1

3

）²+…+（

1

3

）^n-1]
=

3

2

n-

1

2

×

1- 1 3n

1- 1 3

=

3

2

n-

3

4

-

1

4•3n-1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意累加法和分組求和法的合理運(yùn)用．