Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，（e≈2.71），則
（1）函數(shù)g（f（x））的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
（2）若有g(shù)（f（a））=f（b）+1，實(shí)數(shù)b的取值范圍為[0，+∞）．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出g（f（x））的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得到f（b）+1≥1，從而求出b的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）＞0，f（x）在R上遞增，
g′（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）=$\frac{{e}^{2x}-1}{{2e}^{x}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞0，令g′（x）＜0，解得：x＜0，
∴g（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，
函數(shù)g（f（x））在（0，+∞）單調(diào)遞增；
故答案為：（0，+∞）；
（2）顯然f（x）的值域?yàn)镽，
∴g（f（a））的值域是g（x）的值域，
而g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）≥1，
∴f（b）+1≥1，即f（b）≥0，
而f（0）=0，且f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴b≥0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題．