Question

3．已知a∈R，函數f（x）=x|x-2a|．
（1）當a=1時，寫出函數y=f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）當a＞2時，求函數y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（3）設a≠0，若函數y=f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m、n的取值范圍．（用a表示）

Answer 1

分析 （1）通過a=1可知f（x）的解析式，利用圖象即得結論；
（2）通過a＞2、x∈[1，2]可知f（x）=-（x-a）²+a²，利用區(qū)間[1，2]在x=a的左邊可知f（x）_min=f（1）；
（3）通過f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2a），}&{x≥2a}\\{x（2a-x），}&{x＜2a}\end{array}\right.$，分a＞0、a＜0兩種情況討論即可．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}-1，}&{x≥2}\\{-（x-1）^{2}+1，}&{x＜2}\end{array}\right.$，
∵f（x）=（x-1）²-1的圖象時開口向上，對稱軸x=1的拋物線，
f（x）=-（x-1）²+1的圖象時開口向下，對稱軸x=1的拋物線，
∴當x≤1時或x≥2時，y=f（x）單調遞增，
故函數y=f（x）的單調遞增區(qū)間為：（-∞，1]∪[2，+∞）；
（2）∵a＞2，x∈[1，2]，
∴f（x）=x（2a-x）=-x²+2ax=-（x-a）²+a²，
又∵區(qū)間[1，2]在x=a的左邊，
∴f（x）_min=f（1）=2a-1；
（3）依題意，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2a），}&{x≥2a}\\{x（2a-x），}&{x＜2a}\end{array}\right.$，
①當a＞0時，如下圖左所示，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={a}^{2}}\\{y=x（x-2a）}\end{array}\right.$，解得：x=（1+$\sqrt{2}$）a，
∴0≤m＜a，2a＜n≤（1+$\sqrt{2}$）a；
②當a＜0時，如下圖右所示，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{a}^{2}}\\{y=x（2a-x）}\end{array}\right.$，解得：x=（1+$\sqrt{2}$）a，
∴（1+$\sqrt{2}$）a≤m＜2a，a＜n≤0．
       

點評 本題考查分段函數的應用，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．