Question

【題目】如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間，使得該函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則稱函數(shù)是該定義域上的“和諧函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)是不是“和諧函數(shù)”，并說明理由；

（2）若函數(shù)是“和諧函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是“和諧函數(shù)”，見解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)題目所給的定義構(gòu)造函數(shù)，再驗證特殊值即可判定函數(shù)是上的“和諧函數(shù)”.

（2）將題意轉(zhuǎn)化為在上至少有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，再求解即可.

解：（1）函數(shù)的定義域為，

且在上單調(diào)遞增；

研究函數(shù)，；

因為，

取，則，即，

，取，

則，即，

因為在上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間上的值域為，即為.

所以函數(shù)是上的“和諧函數(shù)”.

（2）因為在單調(diào)遞增，

因為函數(shù)是“和諧函數(shù)”，

所以存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為.

即，．

因此，即在上至少有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

令，，方程可化為；

即在上至少有兩個不相等的非負(fù)實(shí)數(shù)根；

記，的對稱軸為直線；

所以；

解得，即t的取值范圍為 .