Question

5．若點(diǎn)P是曲線y²=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，1）的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}-1$
• C． $\sqrt{2}+1$
• D． 2

Answer 1

分析 先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)，由于A在拋物線的外部，所以連接焦點(diǎn)F和點(diǎn)A，AF與拋物線的交點(diǎn)P，即為所求點(diǎn)，利用拋物線的定義可求點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離和到點(diǎn)A（0，1）距離之和的最小值．

解答 解：y²=4x的準(zhǔn)線是x=-1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
由于A在拋物線的外部，所以連接焦點(diǎn)F和點(diǎn)A，AF與拋物線的交點(diǎn)P，即為所求點(diǎn)，
∵P到x=-1的距離等于P到焦點(diǎn)F的距離，
∴點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離和到點(diǎn)A（0，1）距離之和為P到焦點(diǎn)F的距離和到點(diǎn)A（0，1）距離之和減1，
∴當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離和到點(diǎn)A（0，1）距離之和最小，
∴點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離和到點(diǎn)A（0，1）距離之和的最小值為|AF|-1=$\sqrt{2}$-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查拋物線的定義，考查距離和，解題的關(guān)鍵是利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離．