Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，當n≥2時，S_n=2a_n．
（1）求證數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求出a_n的通項公式；
（2）設若b_n=a_n+1-1，設數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n=2a_n-2a_n-1，從而得到數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，由此能求出a_n．
（2）由a_n•b_n=$\frac{1}{2}$×4ⁿ-2^n-1，利用分組求和法能求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和．

解答 解：（1）由已知，當n≥2時，S_n=2a_n，…①，S_n-1=2a_n-1，…②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，n≥2，∵a₁=1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=1×2^n-1=2^n-1．…（6分）
（2）∵b_n=a_n+1-1，∴a_n•b_n=a_n（a_n+1-1）=2^n-1（2ⁿ-1）=$\frac{1}{2}$×4ⁿ-2^n-1
∴T_n=$\frac{1}{2}$×$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}-\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=$\frac{2}{3}$×4ⁿ-2ⁿ+$\frac{1}{3}$．…（12分）

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．