Question

17．觀察下列等式：
①sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=$\frac{3}{4}$；
②sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°=$\frac{3}{4}$．
由上面兩題的結構規(guī)律，你是否能提出一個猜想？并證明你的猜想．

Answer 1

分析 由①②可看出，兩角差為30°，則它們的相關形式的函數(shù)運算式的值均為$\frac{3}{4}$．猜想：若β-α=30°，則β=30°+α，sin²α+cos²β+sinαcosβ=$\frac{3}{4}$．

解答 解：由①②可看出，兩角差為30°，則它們的相關形式的函數(shù)運算式的值均為$\frac{3}{4}$．
猜想：若β-α=30°，則β=30°+α，
sin²α+cos²β+sinαcosβ=$\frac{3}{4}$，
也可直接寫成sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=$\frac{3}{4}$．-------（4分）
下面進行證明：
左邊=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos（2α+60°）}{2}$+sinαcos（α+30°）
=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos2αcos60°-sin2αsin60°}{2}$+sinα（cosα•cos30°-sinαsin30°）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2α+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2α-$\frac{1-cos2α}{4}$
=$\frac{3}{4}$=右邊．
故sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=$\frac{3}{4}$．-----------（14分）

點評 本題考查類比推理，考查對于所給的式子的理解，從所給式子出發(fā)，通過觀察、類比、猜想出一般規(guī)律，著重考查了類比的能力．