Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，若數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)按如下規(guī)則排列：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$，$\frac{1}{6}$，…，若S_k＜10，S_k+1≥10，則a_k=$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 把原數(shù)列分成$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$；$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$；$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$；$\frac{1}{6}$，…，構(gòu)建新數(shù)列b_n=n，由此利用S_k＜10，S_k+1≥10，能求出a_k．

解答 解：把原數(shù)列分成$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$；$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$；$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$；$\frac{1}{6}$，…，
發(fā)現(xiàn)它們的個(gè)數(shù)是1，2，3，4，5，…
構(gòu)建新數(shù)列b_n，則b_n=n等差數(shù)列，記b_n的前n項(xiàng)和為T_n，
由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和得T₅=$\frac{5（1+5）}{2}$=$\frac{15}{2}$，${T}_{6}=\frac{6（1+6）}{2}=\frac{21}{2}$，
∵S_k＜10，S_k+1≥10，
∴a_k定在$\frac{1}{7}，\frac{2}{7}，\frac{3}{7}，\frac{4}{7}，\frac{5}{7}，\frac{6}{7}$之中，
∵${T}_{5}+\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{3}{7}+\frac{4}{7}+\frac{5}{7}$=9+$\frac{9}{14}$＜10，
${T}_{5}+\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{3}{7}+\frac{4}{7}+\frac{5}{7}+\frac{6}{7}$=10+$\frac{1}{2}$＞10，
∴a_k=$\frac{5}{7}$．
故答案為：$\frac{5}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的第k項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)和歸納整理的性質(zhì)的合理運(yùn)用．