Question

19．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=2$\sqrt{3}$，AB=AD=2，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（Ⅰ）試問當(dāng)點E在BC的何處時，有EF∥平面PAC；
（Ⅱ）設(shè)二面角E-AF-B為30°，求三棱錐A-EBF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形中位線的性質(zhì)可得，當(dāng)點E在BC的中點時，有EF∥平面PAC；
（Ⅱ）由題意可得，BC⊥平面PAB，在Rt△PAB中，由PA=2$\sqrt{3}$，AB=2，得PB=4，再結(jié)合F為PB的中點，得到三角形ABF為正三角形，找出二面角的平面角，通過求解直角三角形求得BE，再由等積法求得三棱錐A-EBF的體積．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)點E在BC的中點時，有EF∥平面PAC
事實上，若E為BC中點，又點F是PB的中點，
∴EF為△BPC的中位線，則EF∥PC，
∵PC?面PAC，EF?面PAC，
∴由線面平行的判定可得，EF∥平面PAC；
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，可得平面PAB⊥平面ABCD，
又四邊形ABCD為矩形，即BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
在Rt△PAB中，由PA=2$\sqrt{3}$，AB=2，得PB=4，
由F為PB的中點，可得BF=2，
取AF中點G，連接BG，則BG⊥AF，
再連接EG，有EG⊥AF，
∴∠EGB為二面角E-AF-B的平面角為30°，
在正三角形ABF中，由邊長為2，可得BG=$\sqrt{3}$，
在Rt△EBG中，可得$tan30°=\frac{BE}{BG}=\frac{BE}{2}$，則BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴${V}_{A-EBF}={V}_{E-BAF}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查直線和平面平行的判定，考查棱錐體積的求法，訓(xùn)練了等積法求多面體的體積，是中檔題．