Question

15．保持合理車流密度是保證高速公路暢通的重要因素，距車管部門測算，車流速度v與車流密度x滿足如下關(guān)系；當(dāng)車流密度不超過40輛/千米時(shí)，車流速度可以達(dá)到90千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度達(dá)到400輛/千米時(shí)，發(fā)生堵車現(xiàn)象，即車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度在40輛/千米時(shí)到400輛/千米范圍內(nèi)，車流速度v與車流密度x滿足一次函數(shù)關(guān)系．
（1）求車流速度v與車流密度x的函數(shù)關(guān)系式v（x）；
（2）試確定合理的車流密度，使得車流量（車流量=車流速度v（x）×車流密度（x））最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)40≤x≤400時(shí)，設(shè)函數(shù)v（x）=ax+b，根據(jù)題意即可確定a，b的值，進(jìn)而求出v（x）完整的表達(dá)式；
（2）先求出各分段的最值，再進(jìn)行綜合比較，得出當(dāng)x=200時(shí)，函數(shù)取得最大值．

解答 解：（1）由題意：當(dāng)40≤x≤400時(shí)，設(shè)v（x）=ax+b，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{400a+b=0}\\{40a+b=90}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=100}\end{array}\right.$，
故函數(shù)v（x）的表達(dá)式v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{90，0≤x＜40}\\{-\frac{1}{4}x+100，40≤x≤400}\\{0，x＞400}\end{array}\right.$；
（2）設(shè)車流量為f（x），則f（x）=x•v（x），
根據(jù)（1）得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{90x，0≤x＜40}\\{x（-\frac{1}{4}x+100），40≤x≤400}\\{0，x＞400}\end{array}\right.$，
①當(dāng)0≤x＜40時(shí)，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x=40時(shí)，其最大值為90×40=3600；
②當(dāng)40≤x≤400時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{4}$[（x-200）²-40000]，
當(dāng)x=200時(shí)，函數(shù)取得最大值為10000；
③當(dāng)x＞400時(shí)，f（x）=0，
綜合以上討論得，當(dāng)x=200（輛/千米）時(shí)，f（x）_max=10000（輛/小時(shí)）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)解析式的求法，以及分段函數(shù)的表示和最值的確定，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中等題．