Question

18．在直角坐標系xOy中，點P（1，0），以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的方程為：ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）直線L過點P交曲線C于A，B兩點，且滿足|PA|•|PB|=$\frac{6}{5}$，求直線L的方程．

Answer 1

分析 （1）曲線C的方程為：ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，即ρ²+3（ρsinθ）²=4，進而可得曲線C的直角坐標方程；
（2）先設直線方程為是$\left\{\begin{array}{l}x=1+t•cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$，θ為參數(shù)，然后代入橢圓方程得出t₁•t₂=-$\frac{3}{3si{n}^{2}θ+1}$＜0，再根據(jù)|PA|•|PB|=-t₁•t₂，求出θ的值即可求出直線方程．

解答 解：（1）曲線C的方程為：ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，即$ρ\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}=2$，
即$\sqrt{{ρ}^{2}+3（ρsi{n}^{\;}{θ）}^{2}}=2$，
即ρ²+3（ρsinθ）²=4，
化為直角坐標方程為：x²+y²+3y²=4，
即x²+4y²=4，
即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）設直線l的方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+t•cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$，θ為參數(shù)，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得：（3sin²θ+1）•t²+2t•cosθ-3=0
∵t₁•t₂=-$\frac{3}{3si{n}^{2}θ+1}$＜0
∴|PA|•|PB|=-t₁•t₂⇒$\frac{3}{3si{n}^{2}θ+1}$=$\frac{6}{5}$⇒sin²θ=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，
所求的直線l的方程是 x+y+1=0或x-y-1=0．

點評 本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，設直線l的方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+t•cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$，θ為參數(shù)，可以是問題簡單化，屬于中檔題