Question

12．設自然數(shù)n≥3，證明：可將一個正三角形分成n個等腰三角形．

Answer 1

分析 設D，E，F(xiàn)是正三角形ABC的邊BC，CA，AB上的中點，O為中心．1．連AO，BO，CO，則將正三角形ABC分為三個相等的頂角為120°的等腰三角形；
2．連AD，DE，DF．則△ADE，△ADF是相等的頂角為120°的等腰三角形△BDF，△CDE是相等的正三角形；這樣將正三角形ABC分為四個等腰三角形；
3．在AD上取一點H，使DH=$\frac{1}{2}BC$，則△BHC是等腰直角三角形，分別在CA，AB上取一點P與Q，使∠APH=∠AQH=30°．則△APH，△AQH是相等的頂角為120°的等腰三角形，△PCH，△QBH是相等的頂角為150°的等腰三角形，這樣將正三角形ABC分為五個等腰三角形；
4．在第三種情況下，我們只需分割等腰直角三角形BHC，那可得出所有分割．

解答 解：設D，E，F(xiàn)是正三角形ABC的邊BC，CA，AB上的中點，O為中心．

1．連AO，BO，CO，則將正三角形ABC分為三個相等的頂角為120°的等腰三角形；
2．連AD，DE，DF．則△ADE，△ADF是相等的頂角為120°的等腰三角形△BDF，△CDE是相等的正三角形；
這樣將正三角形ABC分為四個等腰三角形；
3．在AD上取一點H，使DH=$\frac{1}{2}BC$，則△BHC是等腰直角三角形，分別在CA，AB上取一點
P與Q，使∠APH=∠AQH=30°．則
△APH，△AQH是相等的頂角為120°的等腰三角形，
△PCH，△QBH是相等的頂角為150°的等腰三角形，
這樣將正三角形ABC分為五個等腰三角形；
4．在第三種情況下，我們只需分割等腰直角三角形BHC，那可得出所有分割．下面利用數(shù)學歸納法證明：只需分割等腰直角三角形BDH，那可得出所有分割．
（1）當n=1時，△BDH是等腰直角三角形，取BH的中點M₁，連接DM₁，則Rt△BDM₁，Rt△DHM₁都是等腰直角三角形．即由一個等腰直角三角形可以分割成兩個等腰直角三角形．
（2）假設由n個等腰直角三角形可以分割成n+1個等腰直角三角形．
下面證明：由n+1個等腰直角三角形可以分割成n+2個等腰直角三角形，只需將其中的一個等腰直角三角形分割成兩個等腰直角三角形即可，這個由（1）成立．
綜上可知：上述結論成立．
因此可將一個正三角形分成n個等腰三角形．

點評 本題考查了將一個正三角形分成n個等腰三角形的問題、正三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、首項歸納法，考查了數(shù)形結合方法、推理能力與計算能力，屬于難題．