Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₅=7S₂，a_2n+2=2a_n（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+b_n}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）通過設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用S₅=7S₂、a₁+d+2=2a₁計算可知a₁=-1、d=-3，進而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過a_n=-3n+2裂項可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），并項相加可知$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{3n+1}$，分q是否為1兩種情況討論即可．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵S₅=7S₂，
∴5a₁+10d=14a₁+7d，即d=3a₁，
又∵a_2n+2=2a_n（n∈N^*），
∴a₁+d+2=2a₁，即d+2=a₁，
∴3a₁+2=a₁，即a₁=-1，
∴d=3a₁=-3，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=-1-3（n-1）=-3n+2；
（Ⅱ）∵a_n=-3n+2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（-3n+2）（-3n-1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$，
又∵數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+b_n}是首項為1、公比為q的等比數(shù)列，
∴當(dāng)q≠1時，$\frac{n}{3n+1}$+T_n=$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，即T_n=$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$-$\frac{n}{3n+1}$；
當(dāng)q=1時，$\frac{n}{3n+1}$+T_n=n，即T_n=$\frac{3{n}^{2}}{3n+1}$；
于是數(shù)列{b_n}前n項和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{n}^{2}}{3n+1}，}&{q=1}\\{\frac{1-{q}^{n}}{1-q}-\frac{n}{3n+1}，}&{q≠1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．