Question

4．已知點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點(diǎn)，則下列等式中恒成立的是（　　）

• A． $\overrightarrow{CD}=\frac{{\overrightarrow{CA}}}{{|\overrightarrow{CA}|}}+\frac{{\overrightarrow{CB}}}{{|\overrightarrow{CB}|}}$
• B． $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$
• C． $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$
• D． $（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）•（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）=0$

Answer 1

分析 點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點(diǎn)，可得$\overrightarrow{CD}⊥\overrightarrow{BA}$，又$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$，代入$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{BA}$=0，即可得出．

解答 解：∵點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{CD}⊥\overrightarrow{BA}$，
又$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$•$（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）$=0，
即$（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$•$（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）$=0，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量的平行四邊形法則、三角形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．