Question

15．若函數(shù)f（x）=x³+m-2為R上的奇函數(shù)，則函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+x-m，x≤2}\\{mlnx-x，x＞2}\end{array}\right.$ 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)．

Answer 1

分析 由奇函數(shù)的定義，可得f（-x）=-f（x），求得m=2，令h（x）=e^x+x-2，由零點(diǎn)存在定理可得h（x）在（-∞，2]只有一個(gè)零點(diǎn)；設(shè)m（x）=2lnx-x，x＞2，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得m（x）無零點(diǎn)，進(jìn)而得到g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：若函數(shù)f（x）=x³+m-2為R上的奇函數(shù)，
可得f（-x）=-f（x），即有-x³+m-2=-x³-m+2，
即為m-2=0，即m=2，
函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+x-m，x≤2}\\{mlnx-x，x＞2}\end{array}\right.$，即為g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+x-2，x≤2}\\{2lnx-x，x＞2}\end{array}\right.$，
令h（x）=e^x+x-2，可得h（x）在（-∞，2]遞增，
且h（0）=e⁰+0-2=-1＜0，h（2）=e²+2-2=e²＞0，
由零點(diǎn)存在定理，可得h（x）在（-∞，2]只有一個(gè)零點(diǎn)；
設(shè)m（x）=2lnx-x，x＞2，則m′（x）=$\frac{2}{x}$-1=$\frac{2-x}{x}$，
由x＞2可得m′（x）＜0，m（x）在（2，+∞）遞減，
由m（2）=2ln2-2＜0，可得m（x）＜0在（2，+∞）恒成立．
綜上可得，g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，注意運(yùn)用奇函數(shù)的定義和函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在定理和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力和判斷能力，屬于中檔題．