Question

18．已知直線l：ax+by+5=0與圓C：x²+y²=1．
（1）若a，b∈{1，2，3，4，5，6}，求直線l與圓C相切的概率；
（2）若a，b∈[0，6]，求直線l與圓C沒有公共點的概率．

Answer 1

分析 （1）由直線l與圓C相切，利用點到直線的距離公式，得a²+b²=25，由此利用a，b∈{1，2，3，4，5，6}，結合等可能事件概率計算公式能求出直線l與圓C相切的概率．
（2）由直線l與圓C沒有公共點，利用點到直線的距離公式，得a²+b²＜25，由此利用a，b∈[0，6]，結合幾何概型能求出直線l與圓C沒有公共點的概率．

解答 解：（1）∵直線l：ax+by+5=0與圓C：x²+y²=1相切，
∴$\frac{|0+0+5|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，∴a²+b²=25，
∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}，
∴能構成的直線共有n=5²=25條，
滿足條件的只有3x+4y+5=0和4x+3y+5=0這兩條，
∴直線l與圓C相切的概率p=$\frac{2}{25}$．
（2）∵直線l：ax+by+5=0與圓C：x²+y²=1沒有公共點，
∴圓心C（0，0）到直線l的距離d=$\frac{5}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$＞1，即a²+b²＜25，
∵a，b∈[0，6]，
∴由幾何概型得直線l與圓C沒有公共點的概率p=$\frac{{5}^{2}}{{6}^{2}}$=$\frac{25}{36}$．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系、古典概型和幾何概型的合理運用．