Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N₊）
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）歸納猜想出通項公式a_n，并且用數(shù)學歸納法證明；
（3）求證a₁₀₀能被15整除．

Answer 1

分析 （1）利用條件，代入可求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）歸納猜想出通項公式${a_n}={2^n}-1$，再用數(shù)學歸納法證明；
（3）由（2）知${a_{100}}={2^{100}}-1$，而2¹⁰⁰=（2⁴）²⁵=16²⁵=（15+1）²⁵，從而證明a₁₀₀能被15整除．

解答 證明：（1）a₂=3，a₃=7，a₄=15，a₅=31…（2分）
（2）歸納猜想出通項公式${a_n}={2^n}-1$，…（3分）
①當n=1時，${a_1}=1={2^1}-1$，成立…（4分）
②假設n=k時成立，即${a_k}={2^k}-1$，…（5分）
則當n=k+1時，由a_n+1=2a_n+1（n∈N₊）
得：${a_{k+1}}=2{a_k}+1=2（{2^k}-1）+1={2^{k+1}}-2+1={2^{k+1}}-1$…（6分）
所以n=k+1時也成立；
綜合①②，對n∈N^*等式都成立，從而得證．…（7分）
（3）由（2）知${a_{100}}={2^{100}}-1$
而2¹⁰⁰=（2⁴）²⁵=16²⁵=（15+1）²⁵…（8分）
展開：（15+1）²⁵=$C_{25}^0{15^{25}}+C_{25}^1{15^{24}}+…+C_{25}^{24}{15^1}+C_{25}^{25}{15^0}$，被15除余數(shù)為1，…（9分）
故${a_{100}}={2^{100}}-1$被15整除．…（10分）

點評 此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項一種常用求解的方法．