Question

10．已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（x）的圖象關于x=1對稱，當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1，
（1）當x∈[1，2]時，求f（x）的解析式；
（2）計算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的對稱性，即可求出當x∈[1，2]時的f（x）的解析式；
（2）（根據(jù)函數(shù)的對稱性和函數(shù)的奇偶性即可得到f（x）是周期函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性先計算f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，然后可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．

解答 解：（1）∵f（x）的圖象關于x=1對稱，
∴f（1+x）=f（1-x），即f（x）=f（2-x）
當x∈[1，2]時，2-x∈[0，1]，
∵當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1
∴f（x）=f（2-x）=2^2-x-1，x∈[1，2]．
（2）∵f（x）的圖象關于x=1對稱，
∴f（1+x）=f（1-x），
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
即f（2+x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
∵當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1
∴f（0）=0，f（1）=2-1=1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（-1）=-f（1）=-1，f（4）=f（0）=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，
即f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×0=0．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的值，奇函數(shù)，函數(shù)的周期性，其中根據(jù)已知條件求出函數(shù)是為4的周期函數(shù)，是解答本題的關鍵．