Question

12．已知函數(shù)f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x），g（x）=log₂（1+x）+log₂（1-x）．
（1）判斷函數(shù)f（x）奇偶性并證明；
（2）判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性并用單調(diào)性定義證明；
（3）求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）奇偶性并證明；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性并用單調(diào)性定義證明；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系即可求函數(shù)g（x）的值域．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱       …（2分）
f（-x）=-f（x）∴f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)                                …（4分）
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={log_2}\frac{{1+{x_1}}}{{1-{x_1}}}-{log_2}\frac{{1+{x_2}}}{{1-{x_2}}}$=${log_2}\frac{{（1+{x_1}）（1-{x_2}）}}{{（1-{x_1}）（1+{x_2}）}}$，
又-1＜x₁＜x₂＜1∴（1+x₁）（1-x₂）-（1-x₁）（1+x₂）=2（x₁-x₂）＜0
即0＜（1+x₁）（1-x₂）＜（1-x₁）（1+x₂），
∴$0＜\frac{{（1+{x_1}）（1-{x_2}）}}{{（1-{x_1}）（1+{x_2}）}}＜1$，
∴${log_2}\frac{{（1+{x_1}）（1-{x_2}）}}{{（1-{x_1}）（1+{x_2}）}}＜0$，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增…（8分）
（3 ）  由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），
則g（x）=log₂（1+x）+log₂（1-x）=g（x）=log₂[（1+x）（1-x）]=log₂（1-x²）≤log₂1=0，
即g（x）的值域?yàn)椋?∞，0]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，值域的求解和證明，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．