Question

7．若函數(shù)f（x）=|x|+$\sqrt{a-{x^2}}-\sqrt{2}$（a＞0）沒有零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（\sqrt{2}，+∞）$
• B． （2，+∞）
• C． $（0，1）∪（\sqrt{2}，+∞）$
• D． （0，1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）沒有零點，等價為函數(shù)y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$與y=$\sqrt{2}$-|x|的圖象沒有交點，在同一坐標系中畫出它們的圖象，即可求出a的取值范圍．

解答 解：令|x|+$\sqrt{a-{x^2}}-\sqrt{2}$=0得$\sqrt{a-{x}^{2}}$=$\sqrt{2}$-|x|，
令y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$，則x²+y²=a，表示半徑為$\sqrt{a}$，圓心在原點的圓的上半部分，
y=$\sqrt{2}$-|x|，表示以（0，$\sqrt{2}$）端點的折線，在同一坐標系中畫出它們的圖象：如圖，
根據(jù)圖象知，由于兩曲線沒有公共點，故圓到折線的距離小于1，或者圓心到折線的距離大于半徑$\sqrt{2}$，
∴a的取值范圍為（0，1）∪（2，+∞）
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用條件構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象相交問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．