Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{3}$，0），且過(guò)點(diǎn)E（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，點(diǎn)P是橢圓上異于A₁，A₂的任一點(diǎn)，直線PA₁，PA₂分別交x軸于點(diǎn)M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線PA₁的斜率與直線PA₂的斜率之和為1，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）求OM•ON的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c，即a²-b²=3，將已知點(diǎn)代入橢圓方程，解方程，即可得到所求橢圓方程；
（2）A₁（0，1），A₂（0，-1），P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，運(yùn)用直線的斜率公式，解方程可得m，n，再由三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，即可得到M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，結(jié)合P在橢圓上，滿足橢圓方程，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求值．

解答 解：（1）由題意可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
過(guò)點(diǎn)E（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，
解得a=2，b=1，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）A₁（0，1），A₂（0，-1），P（m，n），
即有$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，
${k}_{P{A}_{1}}$=$\frac{n-1}{m}$，${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{n+1}{m}$，
由題意可得$\frac{n-1}{m}$+$\frac{n+1}{m}$=1，即為m=2n，
解方程可得m=$\sqrt{2}$，n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或m=-$\sqrt{2}$，n=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
設(shè)M（t，0），由P，A₁，M三點(diǎn)共線，
可得$\frac{n-1}{m}$=$\frac{-1}{t}$，解得t=$\frac{m}{1-n}$，
即有t=2±2$\sqrt{2}$，
即有M（，2-2$\sqrt{2}$，0）或（2+2$\sqrt{2}$，0）；
（3）由（2）可得A₁（0，1），A₂（0，-1），P（m，n），
即有$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，即為1-n²=$\frac{{m}^{2}}{4}$，
設(shè)M（t，0），由P，A₁，M三點(diǎn)共線，可得
$\frac{n-1}{m}$=$\frac{-1}{t}$，解得t=$\frac{m}{1-n}$；
設(shè)N（s，0），由P，A₂，N三點(diǎn)共線，可得
$\frac{n+1}{m}$=$\frac{1}{s}$，解得s=$\frac{m}{1+n}$，
即有OM•ON=|$\frac{{m}^{2}}{1-{n}^{2}}$|=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線的斜率的公式的運(yùn)用，同時(shí)考查三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，以及化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．