Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（ax+b）．若曲線在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=4x+2．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）=e^x（ax+b）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由已知切線的方程，可得方程，解得即可得到；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的值域，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=e^x（ax+b）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x（ax+a+b），
曲線在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線斜率為k=a+b，
由切線方程為y=4x+2，可得a+b=4，且b=2，
解得a=2，b=2：
（Ⅱ）f（x）=e^x（2x+2）導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x（2x+4），
由f′（x）＞0，由e^x＞0，可得2x+4＞0，解得x＞-2；
由f′（x）＜0，由e^x＞0，可得2x+4＜0，解得x＜-2．
即有f（x）的增區(qū)間為（-2，+∞），減區(qū)間為（-∞，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．